割り算有限小数循環小数

ここでは割り算の仕組みから始まって、分数を小数に変換する方法を有限小数になる場合、循環小数になる場合に応じて説明します。

計算プログラムが（こちら）にありますので、解説を読みながら実行してみてください。

割り算は別名「除算」といいます。「割る」「分ける」という操作（演算）はいったん忘れて、「取り除く」という操作で考えてみましょう。

割り算でやってることは単純で、「何回引けるか？（何回取り除けるか？）」ということです。掛け算でやってる「何回足すか？」の逆の操作をやってることになります。しかし、割り算の場合は掛け算のようにいつでも綺麗な答えになるわけではありません。割り切れない（取り除ききれない）ことが多々あるわけです。

割られる数が小さい時は、1回ずつ引くのを繰り返せば、何回引けるのか簡単に分かります。例として「$14$ から $3$ が何回取り除けるか？」つまり「割られる数が$14$」「割る数が$3$」の割り算「$14\div 3$」を考えてみると次のようになります。

\begin{align*} 14 - 3 &= 11 \qquad \fbox{$14$ から $3$ を引くと $11$ が残る（$1$ 回目）} \\ 11 - 3 &= 8 \qquad \fbox{残った $11$ から $3$ を引くと $8$ が残る（$2$ 回目）} \\ 8 - 3 &= 5 \qquad \fbox{残った $8$ から $3$ を引くと $5$ が残る（$3$ 回目）} \\ 5 - 3 &= 2 \qquad \fbox{残った $5$ から $3$ を引くと $2$ が残る（$4$ 回目）} \\ & \fbox{残った $2$ から $3$ は引けない（取り除けない）のでここで終了} \\ \end{align*}

割られる数が大きくなってくると、1回ずつ引いて行くのはとっても効率の悪いことになります。そこで、掛け算を利用して何回かまとめて引いていくことになります。

例として $9876\div 54$ を筆算でやってみましょう。次の枠内の左側は小学校で習った筆算です。真ん中は通常省略して書かない部分もなるべく書き下した筆算です。一番右側は$182\times 54$の3桁掛ける2桁の暗算ができる人が行った筆算です。省略なしの真ん中の筆算では、各段階で次のようなことをやってることが分かります。

\begin{align*} \require{enclose} \begin{array}{rcrlcr} \fbox{小学校で習った筆算} &\qquad& \fbox{省略なしの筆算} & &\qquad& \fbox{掛け算の暗算が凄い人} \\[-3pt] &\qquad& & &\qquad& \\[-3pt] & & + 2 &\mbox{第3段階}& & \\[-3pt] & & + 80 &\mbox{第2段階}& & \\[-3pt] 182 & & 100 &\mbox{第1段階}& & 182 \\[-3pt] 54\enclose{longdiv}{9876} & & 54\enclose{longdiv}{9876} & & & 54\enclose{longdiv}{9876} \\[-3pt] \underline{54\phantom{00}} & & \underline{- 5400} &\mbox{第1段階}& & \underline{9828} \\[-3pt] 447\phantom{6} & & 4476 &\mbox{第1段階}& & 48 \\[-3pt] \underline{432\phantom{0}} & & \underline{- 4320} &\mbox{第2段階}& & \\[-3pt] 156 & & 156 &\mbox{第2段階}& & \\[-3pt] \underline{108} & & \underline{- 108} &\mbox{第3段階}& & \\[-3pt] 48 & & 48 &\mbox{第3段階}& & \\[-3pt] \end{array} \end{align*}

\begin{align*} \begin{array}{rll} 9876 - 100\cdot 54 &= 9876 - 5400 \\ &= 4476 & \fbox{$9876$から$100$回$54$を取り除くと$4476$残る} \\ 4476 - 80\cdot 54 &= 4476 - 4320 \\ &= 156 & \fbox{$4476$から$80$回$54$を取り除くと$156$残る} \\ 156 - 2\cdot 54 &= 156 - 108 \\ &= 48 & \fbox{$156$から$2$回$54$を取り除くと$48$残る} \\ \end{array} \end{align*}

\begin{align*} \begin{array}{rlcrl} 9876 - 100\cdot 54 &= 4476 &\qquad\Leftarrow\fbox{$100\cdot 54$ を移項}\Rightarrow\qquad & 9876 &= 100\cdot 54 + 4476 \\ 4476 - 80\cdot 54 &= 156 &\qquad\Leftarrow\fbox{$80\cdot 54$ を移項}\Rightarrow\qquad & 4476 &= 80\cdot 54 + 156 \\ 156 - 2\cdot 54 &= 48 &\qquad\Leftarrow\fbox{$2\cdot 54$ を移項}\Rightarrow\qquad & 156 &= 2\cdot 54 + 48 \\ \end{array} \end{align*}

\begin{align*} \begin{array}{rll} 9876 &= 100\cdot 54 + 4476 & \\ &= 100\cdot 54 + 80\cdot 54 + 156 & \fbox{$4476=80\cdot 54 + 156$ で置き換えた} \\ &= 100\cdot 54 + 80\cdot 54 + 2\cdot 54 + 48 & \fbox{$156=2\cdot 54 + 48$ で置き換えた} \\ &= \left(100 + 80 + 2\right)\cdot 54 + 48 & \fbox{$54$で括った} \\ &= 182\cdot 54 + 48 & \fbox{括弧の中を計算した} \\ \end{array} \end{align*}

小学校の時は割り切れない割り算の結果を次のように表していました。

\begin{align*} 9876\div 54 &= 182 \;\mbox{あまり}\; 48 \\ 9876\div 54 &= 182 \;\cdot\cdot\cdot\; 48 \qquad \fbox{「あまり」の意味で「$\cdot\cdot\cdot$」を使う}\\ \end{align*}

\begin{align*} 9876 = 182\cdot 54 + 48 \qquad\fbox{$9876$ は $54$ の $182$ 倍と $48$ の和と等しい} \end{align*}

\begin{align*} 9876\div 54 = \frac{9876}{54} \end{align*}

\begin{align*} \begin{array}{rll} 9876 &= 182\cdot 54 + 48 & \fbox{「商」と「余り」によって導かれた $9876$ を $54$ で分解した等式} \\ \displaystyle \frac{9876}{54} &= \displaystyle\left(182\cdot 54 + 48\right)\cdot\frac{1}{54} & \fbox{両辺に $\displaystyle \frac{1}{54}$ を掛けた（両辺を $54$ で割ったと考えてもよい）} \\[3pt] &= \displaystyle 182\cdot 54\cdot\frac{1}{54} + \frac{48}{54} & \fbox{$\displaystyle\frac{1}{54}$の掛け算を分配した。} \\[3pt] &= \displaystyle 182 + \frac{48}{54} & \fbox{$\displaystyle\frac{1}{54}$ を $54$ 倍すると $1$ になる} \\[3pt] \end{array} \end{align*}

以下の左辺のように、分母より分子の方が大きい分数を仮分数といいます。 \begin{align*} \frac{9876}{54} = 182 + \frac{48}{54} \end{align*} 仮分数を整数部分と小数部分に分解したものは、以下の右辺のように帯分数と呼ばれる $+$ 記号を省略した書き方をすることがあります。 \begin{align*} 182 + \frac{48}{54} = 182\frac{48}{54} \end{align*} ここまでの操作は、仮分数を帯分数に書き直す操作に対応します。 \begin{align*} \frac{9876}{54} = 182 \frac{48}{54} \end{align*} しかし、帯分数を用いると「掛け算記号の省略？」なのか「足し算記号の省略？」なのか誤解を与えることになりかねません。掛け算記号は誤解を与えない限り省略する方が良いのですが、足し算記号を省略するのは良くありません。（感覚的には多項式での「項のまとまりの一体感」を重要視してると思ってください。）帯分数の書き方は昔は暗黙の了解で許されていたのですが、現代では「帯分数は使用しない」方が無難です。

割り算についてまとめます。一般に整数の割り算「$a\div b$」の商と余りの計算は、次の式変形をやることと同じになります。

$a$整数、$b\gt 0$の整数、$q$整数、$0\le r\lt b$の整数 \begin{align*} a = q b + r \qquad\fbox{$a$ は、$q$ 倍の $b$ と $r$ を合わせた数である} \end{align*}

\begin{align*} \frac{a}{b} = q + \frac{r}{b} \end{align*} 整数部： $q$
小数部： $\displaystyle 0\le \frac{r}{b} \lt 1$

分数を小数に変換（割り切れる有限小数の場合）

目次へ↑

例1

分数 $\displaystyle \frac{1}{2}$ を小数に変換してみましょう。 $1\div 2$　は、下のように分子を$10$倍することによって、$10\div 2=5$ を計算することに帰着します。

\begin{align*} \begin{array}{rlcl} \displaystyle\frac{1}{2} &\displaystyle = \frac{1}{2}\cdot\frac{10}{10} &\quad&\fbox{$\displaystyle 1=\frac{10}{10}$を掛けた} \\[3pt] &\displaystyle = \frac{10}{2}\cdot\frac{1}{10} && \fbox{分子の掛け算のみ実行した} \\[3pt] &\displaystyle = \frac{5\cdot 2}{2}\cdot\frac{1}{10} && \fbox{$10\div 2=5$ から得られる関係式 $10=5\cdot 2$ で置き換えた} \\[3pt] &\displaystyle = 5\cdot\frac{1}{10} && \fbox{$2$ を約分した} \\[3pt] &\displaystyle = \frac{5}{10} && \\[3pt] &\displaystyle = 0.5 && \\[3pt] \end{array} \end{align*}

例2

\begin{align*} \begin{array}{rlcl} \displaystyle\frac{27}{4} &\displaystyle = \frac{27}{4}\cdot\frac{100}{100} &\quad&\fbox{$\displaystyle 1=\frac{100}{100}$を掛けた} \\[3pt] &\displaystyle = \frac{2700}{4}\cdot\frac{1}{100} && \fbox{分子の掛け算のみ実行した} \\[3pt] \end{array} \end{align*}

\begin{align*} \require{enclose} \begin{array}{r} 675 \\[-3pt] 4\enclose{longdiv}{2700} \\[-3pt] \underline{24\phantom{00}} \\[-3pt] 30\phantom{0} \\[-3pt] \underline{28\phantom{0}} \\[-3pt] 20 \\[-3pt] \underline{20} \\[-3pt] 0 \\[-3pt] \end{array} \end{align*}

\begin{align*} \begin{array}{rlcl} \displaystyle\frac{27}{4} &\displaystyle = \frac{2700}{4}\cdot\frac{1}{100} &\quad& \\[3pt] &\displaystyle = \frac{675\cdot 4}{4}\cdot\frac{1}{100} && \fbox{$2000=675\cdot4$ で置き換えた} \\[3pt] &\displaystyle = 675\cdot\frac{1}{100} && \fbox{$4$ を約分した} \\[3pt] &\displaystyle = \frac{675}{100} && \\[3pt] &\displaystyle = 6.75 && \\[3pt] \end{array} \end{align*}

例3

例2では、分子を $100$ 倍すると割り切れることが分かってたので良かったのですが、何倍すると割り切れるようになるのか、最初から判断できるわけではありません。（実は後で説明する有限小数の法則に気付けば判断できるようになります。）通常は次のように少しずつ桁を増やしていくことになります。以下の筆算と例2の筆算を見比べてみると良いでしょう。

\begin{align*} \require{enclose} \begin{array}{rcrcrcrcr} \mbox{第1段階} & & & & \mbox{第2段階} & & & & \mbox{第3段階} \\ 6 &\quad& 6.\phantom{7} &\quad& 6.7 &\quad& 6.7\phantom{5} &\quad& 6.75 \\[-3pt] 4\enclose{longdiv}{27} & & 4\enclose{longdiv}{27\color{lightgray}{.0}} & & 4\enclose{longdiv}{27\color{lightgray}{.0}} & & 4\enclose{longdiv}{27\color{lightgray}{.00}} & & 4\enclose{longdiv}{27\color{lightgray}{.00}} \\[-3pt] \underline{24} & & \underline{24\phantom{.0}} & & \underline{24\phantom{.0}} & & \underline{24\phantom{.0}}\phantom{0} & & \underline{24\phantom{.0}}\phantom{0} \\[-3pt] 3 & & 3\phantom{.}0 & & 3\phantom{.}0 & & 3\phantom{.}0\phantom{0} & & 3\phantom{.}0\phantom{0} \\[-3pt] & & & & \underline{2\phantom{.}8} & & \underline{2\phantom{.}8\phantom{0}} & & \underline{2\phantom{.}8\phantom{0}} \\[-3pt] & & & & 2 & & 20 & & 20 \\[-3pt] & & & & & & & & \underline{20} \\[-3pt] & & & & & & & & 0 \\[-3pt] \end{array} \end{align*}

\begin{align*} \begin{array}{rlcrlcrl} 27 &= 6\cdot 4 + 3 &\quad\Leftarrow\fbox{両辺 $4$ で割る}\Rightarrow\quad& \displaystyle\frac{27}{4} &\displaystyle = 6 + \frac{3}{4} &&& \\[3pt] 30 &= 7\cdot 4 + 2 &\quad\Leftarrow\fbox{両辺 $4$ で割る}\Rightarrow\quad& \displaystyle\frac{30}{4} &\displaystyle = 7 + \frac{2}{4} &\quad\Leftarrow\fbox{両辺 $10$ で割る}\Rightarrow\quad& \displaystyle\frac{3}{4} &\displaystyle = \frac{7}{10} + \frac{2}{4}\cdot\frac{1}{10} \\[3pt] 20 &= 5\cdot 4 &\quad\Leftarrow\fbox{両辺 $4$ で割る}\Rightarrow\quad& \displaystyle\frac{20}{4} &\displaystyle = 5 &\quad\Leftarrow\fbox{両辺 $10$ で割る}\Rightarrow\quad& \displaystyle\frac{2}{4} &\displaystyle = \frac{5}{10} \\[3pt] \end{array} \end{align*}

\begin{align*} \frac{27}{4} &= 6 + \frac{3}{4} \\[3pt] &= 6 + \frac{7}{10} + \frac{2}{4}\cdot\frac{1}{10} \qquad \fbox{$\frac{3}{4} = \frac{7}{10} + \frac{2}{4}\cdot\frac{1}{10}$ で置き換えた} \\[3pt] &= 6 + \frac{7}{10} + \frac{5}{10}\cdot\frac{1}{10} \qquad \fbox{$\frac{2}{4}= \frac{5}{10}$ で置き換えた} \\[3pt] &= 6 + \frac{7}{10} + \frac{5}{10^2} \\[3pt] &= 6 + 0.7 + 0.05 \\ &= 6.75 \end{align*}

分数を小数に変換（割り切れない循環小数の場合）

目次へ↑

先ほどの例では最終的に余りが $0$ になって計算が終了しましたが、いつまで繰り返しても余りが残って計算が終了しない場合があります。その場合は無限に同じパターンを繰り返す循環小数というものになります。

例1

\begin{align*} \begin{array}{rlcl} \displaystyle\frac{1}{3} &\displaystyle = \frac{1}{3}\cdot\frac{10}{10} &\quad&\fbox{$\displaystyle 1=\frac{10}{10}$を掛けた} \\[3pt] &\displaystyle = \frac{10}{3}\cdot\frac{1}{10} && \fbox{分子の掛け算のみ実行した} \\[3pt] &\displaystyle = \frac{3\cdot 3 + 1}{3}\cdot\frac{1}{10} && \fbox{$10\div 3$ は「商 $3$」「余り $1$」から得られる関係式 $10=3\cdot 3 + 1$ で置き換えた} \\[3pt] &\displaystyle = \left(\frac{3\cdot 3}{3}+\frac{1}{3}\right)\cdot\frac{1}{10} && \fbox{$\displaystyle \frac{1}{3}$ の掛け算を分配した} \\[3pt] &\displaystyle = \left(3+\frac{1}{3}\right)\cdot\frac{1}{10} && \fbox{第1項の $3$ を約分した} \\[3pt] &\displaystyle = \frac{3}{10}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{10} && \fbox{$\displaystyle\frac{1}{10}$ の掛け算を分配した} \\[3pt] \end{array} \end{align*}

\begin{align*} \color{red}{\frac{1}{3}} = \frac{3}{10} + \color{red}{\frac{1}{3}}\cdot\frac{1}{10} \end{align*}

\begin{align*} \color{red}{\frac{1}{3}} &= \frac{3}{10} + \color{red}{\frac{1}{3}}\cdot\frac{1}{10} \\[3pt] &= \frac{3}{10} + \left(\frac{3}{10} + \color{red}{\frac{1}{3}}\cdot\frac{1}{10}\right)\cdot\frac{1}{10} \qquad \fbox{$\color{red}{\frac{1}{3}} = \frac{3}{10} + \color{red}{\frac{1}{3}}\cdot\frac{1}{10}$で置き換えた} \\[3pt] &= \frac{3}{10} + \frac{3}{10^2} + \color{red}{\frac{1}{3}}\cdot\frac{1}{10^2} \qquad \fbox{$\displaystyle\frac{1}{10}$ の掛け算を分配した} \\[3pt] &= \frac{3}{10} + \frac{3}{10^2} + \left(\frac{3}{10} + \color{red}{\frac{1}{3}}\cdot\frac{1}{10}\right)\cdot\frac{1}{10^2} \qquad \fbox{$\color{red}{\frac{1}{3}} = \frac{3}{10} + \color{red}{\frac{1}{3}}\cdot\frac{1}{10}$で置き換えた} \\[3pt] &= \frac{3}{10} + \frac{3}{10^2} + \frac{3}{10^3} + \color{red}{\frac{1}{3}}\cdot\frac{1}{10^3} \qquad \fbox{$\displaystyle\frac{1}{10^2}$ の掛け算を分配した} \\[3pt] &= \frac{3}{10} + \frac{3}{10^2} + \frac{3}{10^3} + \left(\frac{3}{10} + \color{red}{\frac{1}{3}}\cdot\frac{1}{10}\right)\cdot\frac{1}{10^3} \qquad \fbox{$\color{red}{\frac{1}{3}} = \frac{3}{10} + \color{red}{\frac{1}{3}}\cdot\frac{1}{10}$で置き換えた} \\[3pt] &= \frac{3}{10} + \frac{3}{10^2} + \frac{3}{10^3} + \frac{3}{10^4} + \color{red}{\frac{1}{3}}\cdot\frac{1}{10^4} \qquad \fbox{$\displaystyle\frac{1}{10^3}$ の掛け算を分配した} \\[3pt] &= \frac{3}{10} + \frac{3}{10^2} + \frac{3}{10^3} + \frac{3}{10^4} + \left(\frac{3}{10} + \color{red}{\frac{1}{3}}\cdot\frac{1}{10}\right)\cdot\frac{1}{10^4} \qquad \fbox{$\color{red}{\frac{1}{3}} = \frac{3}{10} + \color{red}{\frac{1}{3}}\cdot\frac{1}{10}$で置き換えた} \\[3pt] &= \frac{3}{10} + \frac{3}{10^2} + \frac{3}{10^3} + \frac{3}{10^4} + \frac{3}{10^5} + \color{red}{\frac{1}{3}}\cdot\frac{1}{10^5} \qquad \fbox{$\displaystyle\frac{1}{10^4}$ の掛け算を分配した} \\[3pt] &\vdots \qquad \fbox{同じ処理の繰り返しが無限に続く} \end{align*}

\begin{align*} \frac{1}{3} = 0.333333\cdots \qquad \fbox{$3$の繰り返し無限に続く} \end{align*}

\begin{align*} \frac{1}{3} = 0.\dot{3} \end{align*}

例2

分数 $\displaystyle\frac{987}{74}$ を小数に変換してみましょう。筆算で次枠の段階まで進めてみます。まだ余りが$0$になっていないので終わってないのですが、この段階であることに気が付きます。

\begin{align*} \require{enclose} \begin{array}{r} 13.3\color{blue}{378}\color{cyan}{378} \\[-3pt] 74\enclose{longdiv}{987\phantom{.0000000}} \\[-3pt] \underline{74\phantom{0}}\phantom{.0000000} \\[-3pt] 247\phantom{.0000000} \\[-3pt] \underline{222\phantom{.0}}\phantom{000000} \\[-3pt] 25\phantom{.}0\phantom{000000} \\[-3pt] \underline{22\phantom{.}2\phantom{0}}\phantom{00000} \\[-3pt] \color{red}{2\phantom{.}8}0\phantom{00000} \\[-3pt] \underline{2\phantom{.}22\phantom{0}}\phantom{0000} \\[-3pt] \color{red}{58}0\phantom{0000} \\[-3pt] \underline{518\phantom{0}}\phantom{000} \\[-3pt] \color{red}{62}0\phantom{000} \\[-3pt] \underline{592\phantom{0}}\phantom{00} \\[-3pt] \color{magenta}{28}0\phantom{00} \\[-3pt] \underline{222\phantom{0}}\phantom{0} \\[-3pt] \color{magenta}{58}0\phantom{0} \\[-3pt] \underline{518\phantom{0}} \\[-3pt] \color{magenta}{62}0 \\[-3pt] \underline{592} \\[-3pt] \color{red}{28} \end{array} \end{align*}

\begin{align*} \frac{987}{74} &= 13.3\,378\,378\,378\,378\,378\,\ldots\quad\fbox{無限に循環節が続く} \\ &= 13.3\dot{3}7\dot{8} \quad\fbox{ドットを付けて無限に続く循環節を表す} \\ &= 13.3\overline{378} \quad\fbox{上線で循環節を表す流儀もある} \end{align*}

\begin{align*} \require{enclose} \begin{array}{r} 13.3\dot{3}7\dot{8} \\[-3pt] 74\enclose{longdiv}{987\phantom{.0000}} \\[-3pt] \underline{74\phantom{0}}\phantom{.0000} \\[-3pt] 247\phantom{.0000} \\[-3pt] \underline{222\phantom{.0}}\phantom{000} \\[-3pt] 25\phantom{.}0\phantom{000} \\[-3pt] \underline{22\phantom{.}2\phantom{0}}\phantom{00} \\[-3pt] \color{red}{2\phantom{.}8}0\phantom{00} \\[-3pt] \underline{2\phantom{.}22\phantom{0}}\phantom{0} \\[-3pt] 580\phantom{0} \\[-3pt] \underline{518\phantom{0}} \\[-3pt] 620 \\[-3pt] \underline{592} \\[-3pt] \color{red}{28} \\[-3pt] \end{array} \end{align*}

\begin{align*} \require{enclose} \begin{array}{rcr} \mbox{整数範囲}&& \\[-3pt] 13 &\quad& \\[-3pt] 74\enclose{longdiv}{987} && \\[-3pt] \underline{74\phantom{0}} && \\[-3pt] 247 && \mbox{小数範囲} \\[-3pt] \underline{222} && 0.3\color{blue}{\dot{3}7\dot{8}} \\[-3pt] 25 && 74\enclose{longdiv}{25\phantom{.0000}} \\[-3pt] && \underline{\phantom{0}0\phantom{.0}}\phantom{000} \\[-3pt] && 25\phantom{.}0\phantom{000} \\[-3pt] && \underline{22\phantom{.}2\phantom{0}}\phantom{00} \\[-3pt] && \color{red}{2\phantom{.}8}0\phantom{00} \\[-3pt] && \underline{2\phantom{.}22\phantom{0}}\phantom{0} \\[-3pt] && 580\phantom{0} \\[-3pt] && \underline{518\phantom{0}} \\[-3pt] && 620 \\[-3pt] && \underline{592} \\[-3pt] && \color{red}{28} \end{array} \end{align*}

\begin{align*} \begin{array}{lcl} 987 = 13\cdot 74 + 25 &\Leftrightarrow& \displaystyle\frac{987}{74} = 13 + \frac{25}{74}\qquad\fbox{$\displaystyle\frac{987}{74}$の整数部分は$13$、小数部分は$\displaystyle\frac{25}{74}$}\\[3pt] \end{array} \end{align*}

\begin{align*} \begin{array}{rlcrlcrl} 250 &= 3\cdot 74 + \color{red}{28} &\quad\Leftrightarrow\quad& \displaystyle\frac{250}{74} &\displaystyle = 3 + \frac{\color{red}{28}}{74} &\quad\Leftrightarrow\quad& \displaystyle\frac{25}{74} &\displaystyle = \frac{3}{10} + \frac{\color{red}{28}}{74}\cdot\frac{1}{10} \\[3pt] \color{red}{28}0 &= \color{blue}{3}\cdot 74 + 58 &\quad\Leftrightarrow\quad& \displaystyle\frac{\color{red}{28}0}{74} &\displaystyle = \color{blue}{3} + \frac{58}{74} &\quad\Leftrightarrow\quad& \displaystyle\frac{\color{red}{28}}{74} &\displaystyle = \frac{\color{blue}{3}}{10} + \frac{58}{74}\cdot\frac{1}{10} \\[3pt] 580 &= \color{blue}{7}\cdot 74 + 62 &\quad\Leftrightarrow\quad& \displaystyle\frac{580}{74} &\displaystyle = \color{blue}{7} + \frac{62}{74} &\quad\Leftrightarrow\quad& \displaystyle\frac{58}{74} &\displaystyle = \frac{\color{blue}{7}}{10} + \frac{62}{74}\cdot\frac{1}{10} \\[3pt] 620 &= \color{blue}{8}\cdot 74 + \color{red}{28} &\quad\Leftrightarrow\quad& \displaystyle\frac{620}{74} &\displaystyle = \color{blue}{8} + \frac{\color{red}{28}}{74} &\quad\Leftrightarrow\quad& \displaystyle\frac{62}{74} &\displaystyle = \frac{\color{blue}{8}}{10} + \frac{\color{red}{28}}{74}\cdot\frac{1}{10} \\[3pt] \end{array} \end{align*}

\begin{align*} \frac{\color{red}{28}}{74} &= \frac{\color{blue}{3}}{10} + \frac{58}{74}\cdot\frac{1}{10} \\[3pt] &= \frac{\color{blue}{3}}{10} + \left(\frac{\color{blue}{7}}{10} + \frac{62}{74}\cdot\frac{1}{10}\right)\cdot\frac{1}{10} \qquad\fbox{$\frac{58}{74} = \frac{\color{blue}{7}}{10} + \frac{62}{74}\cdot\frac{1}{10}$ で置き換えた} \\[3pt] &= \frac{\color{blue}{3}}{10} + \frac{\color{blue}{7}}{10^2} + \frac{62}{74}\cdot\frac{1}{10^2} \qquad\fbox{$\frac{1}{10}$ の掛け算を分配した} \\[3pt] &= \frac{\color{blue}{3}}{10} + \frac{\color{blue}{7}}{10^2} + \left(\frac{\color{blue}{8}}{10} + \frac{\color{red}{28}}{74}\cdot\frac{1}{10}\right)\cdot\frac{1}{10^2} \qquad\fbox{$\frac{62}{74} = \frac{\color{blue}{8}}{10} + \frac{\color{red}{28}}{74}\cdot\frac{1}{10}$ で置き換えた} \\[3pt] &= \frac{\color{blue}{3}}{10} + \frac{\color{blue}{7}}{10^2} + \frac{\color{blue}{8}}{10^3} + \frac{\color{red}{28}}{74}\cdot\frac{1}{10^3} \qquad\fbox{$\frac{1}{10^2}$ の掛け算を分配した} \\[3pt] \end{align*}

\begin{align*} \frac{\color{red}{28}}{74} = 0.\color{blue}{378} + \frac{\color{red}{28}}{74}\cdot\frac{1}{10^3} \end{align*}

\begin{align*} \frac{25}{74} &= \frac{3}{10} + \frac{\color{red}{28}}{74}\cdot\frac{1}{10} \qquad \fbox{3つ上の枠で得られた関係式} \\[3pt] &= 0.3 + \frac{\color{red}{28}}{74}\cdot\frac{1}{10} \qquad \fbox{$\frac{3}{10}$ を小数にした} \\[3pt] &= 0.3 + \left(0.\color{blue}{378} + \frac{\color{red}{28}}{74}\cdot\frac{1}{10^3}\right)\cdot\frac{1}{10} \qquad \fbox{$\frac{\color{red}{28}}{74} = 0.\color{blue}{378} + \frac{\color{red}{28}}{74}\cdot\frac{1}{10^3}$ で置き換えた} \\[3pt] &= 0.3 + 0.0\color{blue}{378} + \frac{\color{red}{28}}{74}\cdot\frac{1}{10^4} \qquad \fbox{$\frac{1}{10}$ の掛け算を分配した} \\[3pt] &= 0.3 + 0.0\color{blue}{378} + \left(0.\color{blue}{378} + \frac{\color{red}{28}}{74}\cdot\frac{1}{10^3}\right)\cdot\frac{1}{10^4} \qquad \fbox{$\frac{\color{red}{28}}{74} = 0.\color{blue}{378} + \frac{\color{red}{28}}{74}\cdot\frac{1}{10^3}$ で置き換えた} \\[3pt] &= 0.3 + 0.0\color{blue}{378} + 0.0000\color{blue}{378} + \frac{\color{red}{28}}{74}\cdot\frac{1}{10^7} \qquad \fbox{$\frac{1}{10^4}$ の掛け算を分配した} \\[3pt] &= 0.3 + 0.0\color{blue}{378} + 0.0000\color{blue}{378} + \left(0.\color{blue}{378} + \frac{\color{red}{28}}{74}\cdot\frac{1}{10^3}\right)\cdot\frac{1}{10^7} \qquad \fbox{$\frac{\color{red}{28}}{74} = 0.\color{blue}{378} + \frac{\color{red}{28}}{74}\cdot\frac{1}{10^3}$ で置き換えた} \\[3pt] &= 0.3 + 0.0\color{blue}{378} + 0.0000\color{blue}{378} + 0.0000000\color{blue}{378} + \frac{\color{red}{28}}{74}\cdot\frac{1}{10^{10}} \qquad \fbox{$\frac{1}{10^7}$ の掛け算を分配した} \\[3pt] &\vdots \qquad \fbox{同じ処理の繰り返しが無限に続く} \end{align*}

例3

分数 $\displaystyle\frac{1}{7}$ を小数に変換してみましょう。 $\color{blue}{142857}$ のパターンを無限に繰り返す循環小数になります。

\begin{align*} \require{enclose} \begin{array}{r} 0.\color{blue}{\dot{1}4285\dot{7}} \\[-3pt] 7\enclose{longdiv}{1\phantom{.000000}} \\[-3pt] \underline{0\phantom{.0}}\phantom{00000} \\[-3pt] \color{red}{1}\phantom{.}0\phantom{00000} \\[-3pt] \underline{7\phantom{0}}\phantom{0000} \\[-3pt] 30\phantom{0000} \\[-3pt] \underline{28\phantom{0}}\phantom{000} \\[-3pt] 20\phantom{000} \\[-3pt] \underline{14\phantom{0}}\phantom{00} \\[-3pt] 60\phantom{00} \\[-3pt] \underline{56\phantom{0}}\phantom{0} \\[-3pt] 40\phantom{0} \\[-3pt] \underline{35\phantom{0}} \\[-3pt] 50 \\[-3pt] \underline{49} \\[-3pt] \color{red}{1} \\[-3pt] \end{array} \end{align*}

\begin{align*} \begin{array}{rlcrlcrl} \color{red}{1}0 &= \color{blue}{1}\cdot 7 + 3 &\quad\Leftrightarrow\quad& \displaystyle\frac{\color{red}{1}0}{7} &\displaystyle = \color{blue}{1} + \frac{3}{7} &\quad\Leftrightarrow\quad& \displaystyle\frac{\color{red}{1}}{7} &\displaystyle = \left(\color{blue}{1} + \frac{3}{7}\right)\cdot\frac{1}{10} \\[3pt] 30 &= \color{blue}{4}\cdot 7 + 2 &\quad\Leftrightarrow\quad& \displaystyle\frac{30}{7} &\displaystyle = \color{blue}{4} + \frac{2}{7} &\quad\Leftrightarrow\quad& \displaystyle\frac{3}{7} &\displaystyle = \left(\color{blue}{4} + \frac{2}{7}\right)\cdot\frac{1}{10} \\[3pt] 20 &= \color{blue}{2}\cdot 7 + 6 &\quad\Leftrightarrow\quad& \displaystyle\frac{20}{7} &\displaystyle = \color{blue}{2} + \frac{6}{7} &\quad\Leftrightarrow\quad& \displaystyle\frac{2}{7} &\displaystyle = \left(\color{blue}{2} + \frac{6}{7}\right)\cdot\frac{1}{10} \\[3pt] 60 &= \color{blue}{8}\cdot 7 + 4 &\quad\Leftrightarrow\quad& \displaystyle\frac{60}{7} &\displaystyle = \color{blue}{8} + \frac{4}{7} &\quad\Leftrightarrow\quad& \displaystyle\frac{6}{7} &\displaystyle = \left(\color{blue}{8} + \frac{4}{7}\right)\cdot\frac{1}{10} \\[3pt] 40 &= \color{blue}{5}\cdot 7 + 5 &\quad\Leftrightarrow\quad& \displaystyle\frac{40}{7} &\displaystyle = \color{blue}{5} + \frac{5}{7} &\quad\Leftrightarrow\quad& \displaystyle\frac{4}{7} &\displaystyle = \left(\color{blue}{5} + \frac{5}{7}\right)\cdot\frac{1}{10} \\[3pt] 50 &= \color{blue}{7}\cdot 7 + \color{red}{1} &\quad\Leftrightarrow\quad& \displaystyle\frac{50}{7} &\displaystyle = \color{blue}{7} + \frac{\color{red}{1}}{7} &\quad\Leftrightarrow\quad& \displaystyle\frac{5}{7} &\displaystyle = \left(\color{blue}{7} + \frac{\color{red}{1}}{7}\right)\cdot\frac{1}{10} \\[3pt] \end{array} \end{align*}

\begin{align*} \frac{\color{red}{1}}{7} &= \left(\color{blue}{1} + \frac{3}{7}\right)\cdot\frac{1}{10} \\[3pt] &= \left(\color{blue}{1} + \left(\color{blue}{4} + \frac{2}{7}\right)\cdot\frac{1}{10}\right)\cdot\frac{1}{10} \qquad \fbox{$\frac{3}{7}=\left(\color{blue}{4}+\frac{2}{7}\right)\cdot\frac{1}{10}$ で置き換えた} \\[3pt] &= \left(\color{blue}{1} + \left(\color{blue}{4} + \left(\color{blue}{2} + \frac{6}{7}\right)\cdot\frac{1}{10}\right)\cdot\frac{1}{10}\right)\cdot\frac{1}{10} \qquad \fbox{$\frac{2}{7}=\left(\color{blue}{2}+\frac{6}{7}\right)\cdot\frac{1}{10}$ で置き換えた} \\[3pt] &= \left(\color{blue}{1} + \left(\color{blue}{4} + \left(\color{blue}{2} + \left(\color{blue}{8} + \frac{4}{7}\right)\cdot\frac{1}{10}\right)\cdot\frac{1}{10}\right)\cdot\frac{1}{10}\right)\cdot\frac{1}{10} \qquad \fbox{$\frac{6}{7}=\left(\color{blue}{8}+\frac{4}{7}\right)\cdot\frac{1}{10}$ で置き換えた} \\[3pt] &= \left(\color{blue}{1} + \left(\color{blue}{4} + \left(\color{blue}{2} + \left(\color{blue}{8} + \left(\color{blue}{5} + \frac{5}{7}\right)\cdot\frac{1}{10}\right)\cdot\frac{1}{10}\right)\cdot\frac{1}{10}\right)\cdot\frac{1}{10}\right)\cdot\frac{1}{10} \qquad \fbox{$\frac{4}{7}=\left(\color{blue}{5}+\frac{5}{7}\right)\cdot\frac{1}{10}$ で置き換えた} \\[3pt] &= \left(\color{blue}{1} + \left(\color{blue}{4} + \left(\color{blue}{2} + \left(\color{blue}{8} + \left(\color{blue}{5} + \left(\color{blue}{7} + \frac{\color{red}{1}}{7}\right)\cdot\frac{1}{10}\right)\cdot\frac{1}{10}\right)\cdot\frac{1}{10}\right)\cdot\frac{1}{10}\right)\cdot\frac{1}{10}\right)\cdot\frac{1}{10} \qquad \fbox{$\frac{5}{7}=\left(\color{blue}{7}+\frac{\color{red}{1}}{7}\right)\cdot\frac{1}{10}$ で置き換えた} \\[3pt] &= \left(\color{blue}{1} + \left(\color{blue}{4} + \left(\color{blue}{2} + \left(\color{blue}{8} + \left(\color{blue}{5} + \frac{\color{blue}{7}}{10} + \frac{\color{red}{1}}{7}\cdot\frac{1}{10}\right)\cdot\frac{1}{10}\right)\cdot\frac{1}{10}\right)\cdot\frac{1}{10}\right)\cdot\frac{1}{10}\right)\cdot\frac{1}{10} \qquad \fbox{一番内側の $\frac{1}{10}$ の掛け算を分配した} \\[3pt] &= \left(\color{blue}{1} + \left(\color{blue}{4} + \left(\color{blue}{2} + \left(\color{blue}{8} + \frac{\color{blue}{5}}{10} + \frac{\color{blue}{7}}{10^2} + \frac{\color{red}{1}}{7}\cdot\frac{1}{10^2}\right)\cdot\frac{1}{10}\right)\cdot\frac{1}{10}\right)\cdot\frac{1}{10}\right)\cdot\frac{1}{10} \qquad \fbox{一番内側の $\frac{1}{10}$ の掛け算を分配した} \\[3pt] &= \left(\color{blue}{1} + \left(\color{blue}{4} + \left(\color{blue}{2} + \frac{\color{blue}{8}}{10} + \frac{\color{blue}{5}}{10^2} + \frac{\color{blue}{7}}{10^3} + \frac{\color{red}{1}}{7}\cdot\frac{1}{10^3}\right)\cdot\frac{1}{10}\right)\cdot\frac{1}{10}\right)\cdot\frac{1}{10} \qquad \fbox{一番内側の $\frac{1}{10}$ の掛け算を分配した} \\[3pt] &= \left(\color{blue}{1} + \left(\color{blue}{4} + \frac{\color{blue}{2}}{10} + \frac{\color{blue}{8}}{10^2} + \frac{\color{blue}{5}}{10^3} + \frac{\color{blue}{7}}{10^4} + \frac{\color{red}{1}}{7}\cdot\frac{1}{10^4}\right)\cdot\frac{1}{10}\right)\cdot\frac{1}{10} \qquad \fbox{一番内側の $\frac{1}{10}$ の掛け算を分配した} \\[3pt] &= \left(\color{blue}{1} + \frac{\color{blue}{4}}{10} + \frac{\color{blue}{2}}{10^2} + \frac{\color{blue}{8}}{10^3} + \frac{\color{blue}{5}}{10^4} + \frac{\color{blue}{7}}{10^5} + \frac{\color{red}{1}}{7}\cdot\frac{1}{10^5}\right)\cdot\frac{1}{10} \qquad \fbox{一番内側の $\frac{1}{10}$ の掛け算を分配した} \\[3pt] &= \frac{\color{blue}{1}}{10} + \frac{\color{blue}{4}}{10^2} + \frac{\color{blue}{2}}{10^3} + \frac{\color{blue}{8}}{10^4} + \frac{\color{blue}{5}}{10^5} + \frac{\color{blue}{7}}{10^6} + \frac{\color{red}{1}}{7}\cdot\frac{1}{10^6} \qquad \fbox{$\frac{1}{10}$ の掛け算を分配した} \\[3pt] &= 0.\color{blue}{142857} + \frac{\color{red}{1}}{7}\cdot\frac{1}{10^6} \qquad \fbox{一部小数点で表示した} \\[3pt] \end{align*}

\begin{align*} \frac{\color{red}{1}}{7} = 0.\color{blue}{142857} + \frac{\color{red}{1}}{7}\cdot\frac{1}{10^6} \end{align*}

\begin{align*} \frac{2}{7} &= 0.285714 + \frac{2}{7}\cdot\frac{1}{10^6} \\[3pt] \frac{3}{7} &= 0.428571 + \frac{3}{7}\cdot\frac{1}{10^6} \\[3pt] \frac{4}{7} &= 0.571428 + \frac{4}{7}\cdot\frac{1}{10^6} \\[3pt] \frac{5}{7} &= 0.714285 + \frac{5}{7}\cdot\frac{1}{10^6} \\[3pt] \frac{6}{7} &= 0.857142 + \frac{6}{7}\cdot\frac{1}{10^6} \\[3pt] \frac{7}{7} &= 0.999999 + \frac{7}{7}\cdot\frac{1}{10^6} \\[3pt] &= 0.999999 + 0.000001 \\ &= 1 \end{align*}

例4

分数 $\displaystyle\frac{1}{21}=\frac{1}{3\cdot 7}$ を小数に変換してみましょう。途中計算は省略しますが、$047619$ のパターンを無限に繰り返す循環節6桁の循環小数になります。

\begin{align*} \frac{1}{21}&=0.\dot{0}4761\dot{9} \\ &=0.047619\,047619\,047619\,047619\,\ldots \end{align*}

\begin{align*} \frac{1}{21} = 0.047619 + \frac{1}{21}\cdot\frac{1}{10^6} \end{align*}

\begin{align*} \frac{2}{21} &= 0.095238 + \frac{2}{21}\cdot\frac{1}{10^6} \\[3pt] \frac{3}{21} &= 0.142857 + \frac{3}{21}\cdot\frac{1}{10^6} \\[3pt] \frac{4}{21} &= 0.190476 + \frac{4}{21}\cdot\frac{1}{10^6} \\[3pt] \frac{5}{21} &= 0.238095 + \frac{5}{21}\cdot\frac{1}{10^6} \\[3pt] \frac{6}{21} &= 0.285714 + \frac{6}{21}\cdot\frac{1}{10^6} \\[3pt] \frac{7}{21} &= 0.333333 + \frac{7}{21}\cdot\frac{1}{10^6} \\[3pt] &= 0.3 + \frac{7}{21}\cdot\frac{1}{10}\qquad\Leftrightarrow\qquad \frac{1}{3} = 0.3 + \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{10}\\[3pt] \frac{8}{21} &= 0.380952 + \frac{8}{21}\cdot\frac{1}{10^6} \\[3pt] \frac{9}{21} &= 0.428571 + \frac{9}{21}\cdot\frac{1}{10^6} \\[3pt] \frac{10}{21} &= 0.476190 + \frac{10}{21}\cdot\frac{1}{10^6} \\[3pt] \frac{11}{21} &= 0.523809 + \frac{11}{21}\cdot\frac{1}{10^6} \\[3pt] \frac{12}{21} &= 0.571428 + \frac{12}{21}\cdot\frac{1}{10^6} \\[3pt] \frac{13}{21} &= 0.619047 + \frac{13}{21}\cdot\frac{1}{10^6} \\[3pt] \frac{14}{21} &= 0.666666 + \frac{14}{21}\cdot\frac{1}{10^6} \\[3pt] &= 0.6 + \frac{14}{21}\cdot\frac{1}{10}\qquad\Leftrightarrow\qquad \frac{2}{3} = 0.6 + \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{10} \\[3pt] \frac{15}{21} &= 0.714285 + \frac{15}{21}\cdot\frac{1}{10^6} \\[3pt] \frac{16}{21} &= 0.761904 + \frac{16}{21}\cdot\frac{1}{10^6} \\[3pt] \frac{17}{21} &= 0.809523 + \frac{17}{21}\cdot\frac{1}{10^6} \\[3pt] \frac{18}{21} &= 0.857142 + \frac{18}{21}\cdot\frac{1}{10^6} \\[3pt] \frac{19}{21} &= 0.904761 + \frac{19}{21}\cdot\frac{1}{10^6} \\[3pt] \frac{20}{21} &= 0.952380 + \frac{20}{21}\cdot\frac{1}{10^6} \\[3pt] \frac{21}{21} &= 0.999999 + \frac{21}{21}\cdot\frac{1}{10^6} \\[3pt] &= 0.999999 + 0.000001 \\ &= 1 \end{align*}

循環節を生み出す式と等比数列の無限項の和

目次へ↑

前節の循環節を生み出す式についてもう少し考えてみましょう。以下の枠内のように変形します。

\begin{align*} \begin{array}{rlcl} \displaystyle\frac{1}{7} &\displaystyle = 0.142857 + \frac{1}{7}\cdot\frac{1}{10^6} &\quad& \\[3pt] \displaystyle\frac{1}{7} - \frac{1}{7}\cdot\frac{1}{10^6} &\displaystyle= 0.142857 & & \fbox{$\displaystyle\frac{1}{7}\cdot\frac{1}{10^6}$ を移項} \\[3pt] \displaystyle\frac{1}{7}\cdot\left(1 - \frac{1}{10^6}\right) &\displaystyle= 0.142857 & & \fbox{左辺を $\displaystyle\frac{1}{7}$ で括った} \\[3pt] \displaystyle\frac{1}{7} &\displaystyle= \frac{0.142857}{\displaystyle 1 - \frac{1}{10^6}} & & \fbox{両辺を $\displaystyle 1 - \frac{1}{10^6}$ で割った} \\[3pt] \end{array} \end{align*}

\begin{align*} \begin{array}{rlcrl} \displaystyle\frac{1}{7} &\displaystyle = 0.142857 + \frac{1}{7}\cdot\frac{1}{10^6} &\quad\Leftrightarrow\quad& \displaystyle\frac{1}{7} &\displaystyle= \frac{0.142857}{\displaystyle 1 - \frac{1}{10^6}} \\[3pt] \displaystyle\frac{1}{3} &\displaystyle = 0.3 + \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{10} &\quad\Leftrightarrow\quad& \displaystyle\frac{1}{3} &\displaystyle= \frac{0.3}{\displaystyle 1 - \frac{1}{10}} \\[3pt] \displaystyle\frac{28}{74} &\displaystyle = 0.378 + \frac{28}{74}\cdot\frac{1}{10^3} &\quad\Leftrightarrow\quad& \displaystyle\frac{28}{74} &\displaystyle= \frac{0.378}{\displaystyle 1 - \frac{1}{10^3}} \\[3pt] \end{array} \end{align*}

高校の「数学B」で等比数列というものを習います。数を順番に並べたものを数列といいます。数列の最初の数を初項といいます。数列の2番目の数を第2項といいます。等比数列とは、ある項の数に公比と呼ばれる数を掛けることで、次の項の数になる数列のことです。初項を $a$ として、公比を $r$ とした数列を第$n$項まで並べると次のようになります。ひとつ前の項を $r$ 倍したものが次の項になってます。

\begin{align*} \begin{array}{llllll} \mbox{初項}&\mbox{第2項}&\mbox{第3項}&\mbox{第4項}&\cdots&\mbox{第$n$項}\\ a& ar& ar^2& ar^3& \ldots& ar^{n-1} \\ \end{array} \end{align*}

\begin{align*} S_n = a + ar + ar^2 + ar^3 + \ldots + ar^{n-1} \end{align*}

\begin{align*} \begin{array}{rlcl} S_n &= a + ar + ar^2 + ar^3 + \ldots + ar^{n-1} &\quad& \fbox{等比数列の$n$項までの和} \\ rS_n &= \qquad ar + ar^2 + ar^3 + \ldots + ar^{n-1} + ar^n && \fbox{両辺に公比 $r$ を掛けた} \\ S_n - rS_n &= a - ar^n && \fbox{2つ上の式の両辺から1つ上の式の両辺を引いた（右辺は両端以外全部キャンセルして消える）} \\ (1-r)S_n &= a(1 - r^n) && \fbox{左辺を $S_n$ で括って、右辺を $a$ で括った} \\[3pt] S_n &\displaystyle= \frac{a(1 - r^n)}{1-r} && \fbox{両辺を $1-r$ で割った} \\[3pt] \end{array} \end{align*}

\begin{align*} S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1-r} \quad \fbox{$n\to \infty,\,r^n\to 0$} \quad S_\infty = \frac{a}{1-r} \\[3pt] \end{align*}

\begin{align*} \displaystyle S_\infty = \frac{a}{1-r} \qquad \fbox{比較} \qquad \frac{1}{7}=\frac{0.142857}{\displaystyle 1 - \frac{1}{10^6}} \end{align*}

\begin{align*} \begin{array}{rlllll} S_\infty &= a &+ ar &+ ar^2 &+ ar^3 &+ \cdots\quad\fbox{無限に続く} \\ \fbox{比較} & & & & &\\ \displaystyle\frac{1}{7} &= 0.142857 &\displaystyle + 0.142857\cdot \frac{1}{10^6} &\displaystyle + 0.142857\cdot \frac{1}{10^{12}} &\displaystyle + 0.142857\cdot \frac{1}{10^{18}} &+ \cdots\quad\fbox{無限に続く} \\[3pt] &= 0.142857 &+ 0.000000142857 &+ 0.000000000000142857 &+ 0.000000000000000000142857 &+ \cdots\quad\fbox{無限に続く} \\ \end{array} \end{align*}

循環小数を分数に変換

目次へ↑

どんな循環小数でも、循環節をうまく消すことによって、必ず分数に変換することができます。分数に変換した後には約分をする必要があります。約分するには素因数分解を利用する方法と、ユークリッドの互除法を利用して最大公約数を求める方法があります。リンク先にプログラムがあるので利用してください。手計算する場合はユークリッドの互除法を使うと良いでしょう。何故かというと、大きな数の素因数を見つけるのに、手計算ではかなりの手間がかかることがあるからです。

例1

循環小数を $a$ と置きます。 \begin{align*} a &= 13.3\dot{3}7\dot{8} \\ &= 13.3\,378\,378\,378\,378\,\ldots \end{align*}

\begin{align*} \begin{array}{rlcl} 10000 a &= 133378.378\,378\,378\,378\,\ldots &\qquad& \fbox{上枠式の両辺を$10000$倍} \\ 10 a &= \phantom{000}133.378\,378\,378\,378\,\ldots && \fbox{上枠式の両辺を$10$倍} \\ 10000a - 10a &= 133378 - 133 && \fbox{2つ上の式の両辺から1つ上の式の両辺を引く（小数点以下の無限に続く値は全く一緒なので消える）} \\ (10000 - 10)a &= 133378 - 133 && \fbox{左辺$a$で括った} \\ 9990a &= 133245 && \fbox{引き算計算した} \\ a &\displaystyle = \frac{133245}{9990} && \fbox{両辺 $9990$ で割った} \\[3pt] \end{array} \end{align*}

\begin{align*} \begin{array}{rlcl} a &\displaystyle = \frac{133245}{9990} && \\[3pt] &\displaystyle = \frac{3^4\cdot 5\cdot 7\cdot 47}{2\cdot 3^3\cdot 5\cdot 37} && \fbox{分母と分子をそれぞれ素因数分解した} \\[3pt] &\displaystyle = \frac{3\cdot 7\cdot 47}{2\cdot 37} && \fbox{約分した} \\[3pt] &\displaystyle = \frac{987}{74} && \fbox{掛け算計算した} \\[3pt] \end{array} \end{align*}

\begin{align*} \begin{array}{rlcl} a &\displaystyle = \frac{133245}{9990} && \\[3pt] &\displaystyle = \frac{987\cdot 135}{74\cdot 135} && \fbox{分母と分子の最大公約数 $135$ を見つけた} \\[3pt] &\displaystyle = \frac{987}{74} && \fbox{約分した} \\[3pt] \end{array} \end{align*}

例2

循環小数を $a$ と置きます。 \begin{align*} a &= 0.\dot{1}4285\dot{7} \\ &= 0.142857\,142857\,142857\,142857\,\ldots \end{align*}

\begin{align*} \begin{array}{rlcl} 1000000 a &= 142857.142857\,142857\,142857\,\ldots &\qquad& \fbox{上枠式の両辺を$10^6$倍} \\ a &= \phantom{00000}0.142857\,142857\,142857\,\ldots &\qquad& \fbox{上枠式の両辺をそのまま書いた} \\ 1000000a - a &= 142857 && \fbox{2つ上の式の両辺から1つ上の式の両辺を引く（小数点以下の無限に続く値は全く一緒なので消える）} \\ 999999a &= 142857 && \fbox{左辺の引き算計算した} \\ a &\displaystyle = \frac{142857}{999999} && \fbox{両辺 $999999$ で割った} \\[3pt] \end{array} \end{align*}

\begin{align*} \begin{array}{rlcl} a &\displaystyle = \frac{142857}{999999} &\qquad& \\[3pt] &\displaystyle = \frac{3^3\cdot 11\cdot 13\cdot 37}{3^3\cdot 7\cdot 11\cdot 13\cdot 37} && \fbox{分母と分子をそれぞれ素因数分解した} \\[3pt] &\displaystyle = \frac{1}{7} && \fbox{約分した} \\[3pt] \end{array} \end{align*}

\begin{align*} \begin{array}{rlcl} a &\displaystyle = \frac{142857}{999999} &\qquad& \\[3pt] &\displaystyle = \frac{1\cdot 142857}{7\cdot 142857} && \fbox{分母と分子の最大公約数 $142857$ を見つけた} \\[3pt] &\displaystyle = \frac{1}{7} && \fbox{約分した} \\[3pt] \end{array} \end{align*}

循環節を生み出す式と連続9の並び

目次へ↑

前々節で、以下の左の循環節を再帰的に生み出す式と、以下の右の等比数列の無限項の和の式の関係を見ました。

\begin{align*} \begin{array}{rlcl} \displaystyle\frac{1}{7} &\displaystyle= \frac{0.142857}{\displaystyle 1 - \frac{1}{10^6}} &\quad& \\[3pt] &\displaystyle = \frac{0.142857\cdot 10^6}{10^6 - 1} && \fbox{分母と分子それぞれに $10^6$ を掛けた} \\[3pt] &\displaystyle = \frac{142857}{999999} && \fbox{分母の計算 $1000000-1=999999$、分子の計算 $0.142857\cdot 1000000=142857$ を実行した} \\[3pt] &\displaystyle \frac{\mbox{6桁の数値の並び}}{\mbox{6桁の連続9の並び}} && \fbox{分母の$9$の並びが$6$桁なので循環節は$6$桁、分子の数字の並び方が循環節の並びパターン} \\[3pt] \end{array} \end{align*}

$10^n-1$ が $n$ 桁連続の 9 になることについて（こちら）のリンク先に解説があるので参考にしてください。

他の数でも同様の変形ができます。以下にいくつか例をあげます。 様々な循環小数の表現があることが分かります。それぞれの表現でいろいろ使いどころがあります。納得して欲しいので、相互の式変形を何度かやってみることをお勧めします。

\begin{align*} \begin{array}{rlcrlcrlcrl} \displaystyle\frac{1}{7}&=0.\dot{1}4285\dot{7} &\quad\Leftrightarrow\quad& \displaystyle\frac{1}{7} &\displaystyle = 0.142857 + \frac{1}{7}\cdot\frac{1}{10^6} &\quad\Leftrightarrow\quad& \displaystyle\frac{1}{7} &\displaystyle= \frac{0.142857}{\displaystyle 1 - \frac{1}{10^6}} &\quad\Leftrightarrow\quad& \displaystyle\frac{1}{7} &= \displaystyle\frac{142857}{999999} \\[3pt] \displaystyle\frac{1}{3}&=0.\dot{3} &\quad\Leftrightarrow\quad& \displaystyle\frac{1}{3} &\displaystyle = 0.3 + \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{10} &\quad\Leftrightarrow\quad& \displaystyle\frac{1}{3} &\displaystyle= \frac{0.3}{\displaystyle 1 - \frac{1}{10}} &\quad\Leftrightarrow\quad& \displaystyle\frac{1}{3} &= \displaystyle\frac{3}{9} \\[3pt] \displaystyle\frac{28}{74}&=0.\dot{3}7\dot{8} &\quad\Leftrightarrow\quad& \displaystyle\frac{28}{74} &\displaystyle = 0.378 + \frac{28}{74}\cdot\frac{1}{10^3} &\quad\Leftrightarrow\quad& \displaystyle\frac{28}{74} &\displaystyle= \frac{0.378}{\displaystyle 1 - \frac{1}{10^3}} &\quad\Leftrightarrow\quad& \displaystyle\frac{28}{74} &= \displaystyle\frac{378}{999} \\[3pt] \end{array} \end{align*}

有限小数と循環小数の見分け方

目次へ↑

ここまで分数を小数に変換してみて、有限小数（finite decimal）と循環小数（repeting decimal, 又は recurring decimal）になる例を見てきました。実は分数は有限小数と循環小数以外の小数にはなりません。分数で表すことができる実数を有理数（rational number）、分数で表すことができない実数を無理数（irrational number）といいます。無理数の例には平方根 $\sqrt{2}$ や、円周率 $\pi$ や、ネイピア数 $e$ 等があります。ネイピア数に関しては（こちら）で解説しています。無理数を小数で表現すると、小数点以下が無限に続いて終わりがない無限小数になるのですが、繰り返しのパターンである循環節がありません。

\begin{align*} \sqrt{2} &= 1.41421356\ldots \qquad\fbox{繰り返しパターンのない数の並びが無限に続く} \\ \pi &= 3.14159265\ldots \qquad\fbox{繰り返しパターンのない数の並びが無限に続く} \\ e &= 2.71828182\ldots \qquad\fbox{繰り返しパターンのない数の並びが無限に続く} \\ \end{align*}

分数が有限小数と循環小数以外の小数にならないのは、小数部分の割り算筆算の各段階で、余りが分母（割る数）の大きさを超えないからです。分母が $n$ の時は余りの種類は $0$ から $n-1$ の $n$ 種類になります。何回繰り返しても余りが $0$ にならない時は、$n-1$ 回以内の繰り返しで $n-1$ 種類の余りのどれかが必ず被ることになります。余りが被った時点で、循環節が確定するので、割り切れない時は必ず循環小数になるわけです。そういうわけで、循環節は最大で $n-1$ 桁以上にはならないことが分かります。

既に約分しきってしまっていて、それ以上整数で約分できない分数のことを、既約分数といいます。（こちら）の計算プログラムで様々な数値を試してもらうと分かるのですが「循環節の桁数が何桁になるのか？」は既約分数の分母の値で決まります。既約分数の分母が $n$ の分数を小数に変換すると、循環節の桁数が分かります。下の表の「実際の循環節の桁数」にまとめたので眺めてみてください。循環節 $0$ は割り切れる場合です。前段落で説明した最大限度の値と同じ場合もあれば、違う場合もあります。

\begin{align*} \begin{array}{l|l|l|l} \hline \mbox{分母の値} & \mbox{割り切れない時の余りの種類} & \mbox{循環節の桁数の最大限度} & \mbox{実際の循環節の桁数} \\ \hline n & 1, \ldots , n-1 & n-1 & ?? \\ \hline 2 & 1 & 1 & 0 \\ \hline 3 & 1, 2 & 2 & 1 \\ \hline 4 & 1, 2, 3 & 3 & 0 \\ \hline 5 & 1, 2, 3, 4 & 4 & 0 \\ \hline 6 & 1, 2, 3, 4, 5 & 5 & 1 \\ \hline 7 & 1, 2, 3, 4, 5, 6 & 6 & 6 \\ \hline 8 & 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 & 7 & 0 \\ \hline 9 & 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 & 8 & 1 \\ \hline 10 & 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 & 9 & 0 \\ \hline 11 & 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 & 10 & 2 \\ \hline 12 & 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 & 11 & 1 \\ \hline 13 & \mbox{以降省略} & 12 & 6 \\ \hline 14 & & 13 & 6 \\ \hline 15 & & 14 & 1 \\ \hline 16 & & 15 & 0 \\ \hline 17 & & 16 & 16 \\ \hline 18 & & 17 & 1 \\ \hline 19 & & 18 & 18 \\ \hline 20 & & 19 & 0 \\ \hline 21 & & 20 & 6 \\ \hline 22 & & 21 & 2 \\ \hline 23 & & 22 & 22 \\ \hline 24 & & 23 & 1 \\ \hline 25 & & 24 & 0 \\ \hline 26 & & 25 & 6 \\ \hline 27 & & 26 & 3 \\ \hline 28 & & 27 & 6 \\ \hline 29 & & 28 & 28 \\ \hline 30 & & 29 & 1 \\ \hline \end{array} \end{align*}

$10$ を素因数分解すると $10=2\cdot 5$ になります。 既約分数の分母の素因数の組み合わせに$2$や$5$がどのように入っているかで、どのようなタイプの小数になるのか分類できます。

有限小数

目次へ↑

既約分数の分母の素因数に $2$ や $5$ しか入ってない場合、有限桁に収まる小数になります。

\begin{align*} \frac{1}{2500} &= \frac{1}{2^2\cdot 5^4} \\[3pt] &= \frac{2^2}{2^4\cdot 5^4} \\[3pt] &= \frac{4}{10^4} \\[3pt] &= 0.0004 \end{align*}

\begin{align*} \frac{1}{800} &= \frac{1}{2^5\cdot 5^2} \\[3pt] &= \frac{5^3}{2^5\cdot 5^5} \\[3pt] &= \frac{125}{10^5} \\[3pt] &= 0.00125 \end{align*}

既約分数の分母の素因数が $2$ と $5$ のみの場合、$2$ や $5$ を補って倍分することで、分母を $10^n$ にすることができます。分母をきっちり $10^n$ にすることができるので、有限の桁で収まることになるわけです。

$i, n$ が整数で $0\le i\le n$ で、$c$ は $2$ や $5$ を素因数に持たない整数の時 \begin{align*} \frac{c}{2^i\cdot 5^n} &= \frac{c\cdot 2^{n-i}}{10^n} \\[3pt] \frac{c}{2^n\cdot 5^i} &= \frac{c\cdot 5^{n-i}}{10^n} \\[3pt] \end{align*} となり小数第$n$位までの有限小数になる。

純循環小数

目次へ↑

循環節の桁数が $n$ 桁の純循環小数（小数第1から循環が始まる小数）は、$10^n-1$ の $n$ 桁連続で $9$ を $99\cdots 9$ のように並べた数が分母の分数、で表現できます。分子の値はどのような数でも構いません。

既約分数の分母の素因数に $2$ と $5$ が入ってない場合、純循環小数になります。

「循環節が何桁になるのか？」という問題は「分数にした時に、分母に何桁の連続 $9$ が並ぶようにできるのか？」という問題になります。連続 $9$ を分析するためには素因数分解をしておくと便利です。大きな数の素因数分解は大変なので（こちら）のプログラム等を利用するとよいです。以下、連続 $9$ の素因数分解をまとめたものです。初出の素数を青色にしました。 $\{\color{blue}{7,\,17,\,19,\,23,\,29}\}$ はそれぞれ、桁数 $\{6,\,16,\,18,\,22,\,29\}$ の $1$ 引いたところで初めて出現しています。このような数が分母の既約分数の場合では、割り算の筆算で循環節を導こうとすると全ての余りのパターンが出現します。

\begin{align*} \begin{array}{r|rl} \hline \mbox{桁数, $n$}&\mbox{連続 $9$, $10^n-1$}\phantom{=}&\mbox{素因数分解} \\ \hline 1 & 9 =& \color{blue}{3}^2 \\ \hline 2 & 99 =& 3^2\cdot \color{blue}{11} \\ \hline 3 & 999 =& 3^3\cdot \color{blue}{37} \\ \hline 4 & 9999 =& 3^2\cdot 11\cdot \color{blue}{101} \\ \hline 5 & 99999 =& 3^2\cdot \color{blue}{41}\cdot \color{blue}{271} \\ \hline 6 & 999999 =& 3^3\cdot \color{blue}{7}\cdot 11\cdot \color{blue}{13}\cdot 37 \\ \hline 7 & 9999999 =& 3^2\cdot \color{blue}{239}\cdot \color{blue}{4649} \\ \hline 8 & 99999999 =& 3^2\cdot 11\cdot \color{blue}{73}\cdot 101\cdot \color{blue}{137} \\ \hline 9 & 999999999 =& 3^4\cdot 37\cdot \color{blue}{333667} \\ \hline 10 & 9999999999 =& 3^2\cdot 11\cdot 41\cdot 271\cdot \color{blue}{9091} \\ \hline 11 & \mbox{以降略} \phantom{=}& 3^2\cdot \color{blue}{21649}\cdot \color{blue}{513239} \\ \hline 12 & & 3^3\cdot 7\cdot 11\cdot 13\cdot 37\cdot 101\cdot \color{blue}{9901} \\ \hline 13 & & 3^2\cdot \color{blue}{53}\cdot \color{blue}{79}\cdot \color{blue}{265371653} \\ \hline 14 & & 3^2\cdot 11\cdot 239\cdot 4649\cdot \color{blue}{909091} \\ \hline 15 & & 3^3\cdot \color{blue}{31}\cdot 37\cdot 41\cdot 271\cdot \color{blue}{2906161} \\ \hline 16 & & 3^2\cdot 11\cdot \color{blue}{17}\cdot 73\cdot 101\cdot 137\cdot \color{blue}{5882353} \\ \hline 17 & & 3^2\cdot \color{blue}{2071723}\cdot \color{blue}{5363222357} \\ \hline 18 & & 3^4\cdot 7\cdot 11\cdot 13\cdot \color{blue}{19}\cdot 37\cdot \color{blue}{52579}\cdot 333667 \\ \hline 19 & & 3^2\cdot \color{blue}{1111111111111111111} \\ \hline 20 & & 3^2\cdot 11\cdot 41\cdot 101\cdot 271\cdot \color{blue}{3541}\cdot 9091\cdot \color{blue}{27961} \\ \hline 21 & & 3^3\cdot 37\cdot \color{blue}{43}\cdot 239\cdot \color{blue}{1933}\cdot 4649\cdot \color{blue}{10838689} \\ \hline 22 & & 3^2\cdot 11^2\cdot \color{blue}{23}\cdot \color{blue}{4093}\cdot \color{blue}{8779}\cdot 21649\cdot 513239 \\ \hline 23 & & 3^2\cdot \color{blue}{11111111111111111111111} \\ \hline 24 & & 3^3\cdot 7\cdot 11\cdot 13\cdot 37\cdot 73\cdot 101\cdot 137\cdot 9901\cdot \color{blue}{99990001} \\ \hline 25 & & 3^2\cdot 41\cdot 271\cdot \color{blue}{21401}\cdot \color{blue}{25601}\cdot \color{blue}{182521213001} \\ \hline 26 & & 3^2\cdot 11\cdot 53\cdot 79\cdot \color{blue}{859}\cdot 265371653\cdot \color{blue}{1058313049} \\ \hline 27 & & 3^5\cdot 37\cdot \color{blue}{757}\cdot 333667\cdot \color{blue}{440334654777631} \\ \hline 28 & & 3^2\cdot 11\cdot \color{blue}{29}\cdot 101\cdot 239\cdot \color{blue}{281}\cdot 4649\cdot 909091\cdot \color{blue}{121499449} \\ \hline 29 & & 3^2\cdot \color{blue}{3191}\cdot \color{blue}{16763}\cdot \color{blue}{43037}\cdot \color{blue}{62003}\cdot \color{blue}{77843839397} \\ \hline 30 & & 3^3\cdot 7\cdot 11\cdot 13\cdot 31\cdot 37\cdot 41\cdot \color{blue}{211}\cdot \color{blue}{241}\cdot 271\cdot \color{blue}{2161}\cdot 9091\cdot 2906161 \\ \hline 31 & & 3^2\cdot \color{blue}{2791}\cdot \color{blue}{6943319}\cdot \color{blue}{57336415063790604359} \\ \hline 32 & & 3^2\cdot 11\cdot 17\cdot 73\cdot 101\cdot 137\cdot \color{blue}{353}\cdot \color{blue}{449}\cdot \color{blue}{641}\cdot \color{blue}{1409}\cdot \color{blue}{69857}\cdot 5882353 \\ \hline 33 & & 3^3\cdot 37\cdot \color{blue}{67}\cdot 21649\cdot 513239\cdot \color{blue}{1344628210313298373} \\ \hline 34 & & 3^2\cdot 11\cdot \color{blue}{103}\cdot \color{blue}{4013}\cdot 2071723\cdot 5363222357\cdot \color{blue}{21993833369} \\ \hline 35 & & 3^2\cdot 41\cdot \color{blue}{71}\cdot 239\cdot 271\cdot 4649\cdot \color{blue}{123551}\cdot \color{blue}{102598800232111471} \\ \hline 36 & & 3^4\cdot 7\cdot 11\cdot 13\cdot 19\cdot 37\cdot 101\cdot 9901\cdot 52579\cdot 333667\cdot \color{blue}{999999000001} \\ \hline 37 & & 3^2\cdot \color{blue}{2028119}\cdot \color{blue}{247629013}\cdot \color{blue}{2212394296770203368013} \\ \hline 38 & & 3^2\cdot 11\cdot \color{blue}{909090909090909091}\cdot 1111111111111111111 \\ \hline 39 & & 3^3\cdot 37\cdot 53\cdot 79\cdot 265371653\cdot \color{blue}{900900900900990990990991} \\ \hline 40 & & 3^2\cdot 11\cdot 41\cdot 73\cdot 101\cdot 137\cdot 271\cdot 3541\cdot 9091\cdot 27961\cdot \color{blue}{1676321}\cdot \color{blue}{5964848081} \\ \hline 41 & & 3^2\cdot \color{blue}{83}\cdot \color{blue}{1231}\cdot \color{blue}{538987}\cdot \color{blue}{201763709900322803748657942361} \\ \hline 42 & & 3^3\cdot 7^2\cdot 11\cdot 13\cdot 37\cdot 43\cdot \color{blue}{127}\cdot 239\cdot 1933\cdot \color{blue}{2689}\cdot 4649\cdot \color{blue}{459691}\cdot 909091\cdot \color{blue}{10838689} \\ \hline \end{array} \end{align*}

上のような表を持っていれば、既約分数の分母の値を見ることで、何桁の純循環小数になるのか判断できます。例えば、既約分数の分母の値が $253$ の場合を考えてみましょう。分子は $253$ と互いに素の値なら何でも構いません。 $253=11\cdot 23$ になるので、上の表で $11\cdot 23$ が初めて現れる桁数を見ます。すると、$22$ 桁の所に出てきますので、循環節 $22$ 桁の純循環小数になることが分かります。例として既約分数の $\displaystyle\frac{300}{253}$ を純循環小数に直してみましょう。

\begin{align*} \frac{300}{253} &= \frac{1\cdot 253 + 47}{253} \qquad \fbox{$300\div 253$ の商は $1$ 余りは $47$} \\[3pt] &= 1 + \frac{47}{253} \\[3pt] &= 1 + \frac{47}{11\cdot 23} \qquad \fbox{$253$ を素因数分解した} \\[3pt] &= 1 + \frac{47\cdot 3^2\cdot 11\cdot 4093\cdot 8779\cdot 21649\cdot 513239}{11\cdot 23\cdot 3^2\cdot 11\cdot 4093\cdot 8779\cdot 21649\cdot 513239} \qquad \fbox{表を見て、分母が連続 $9$ になるよう倍分した} \\[3pt] &= 1 + \frac{1857707509881422924901}{9999999999999999999999} \qquad \fbox{分母と分子のそれぞれの掛け算を実行した} \\[3pt] &= 1 + 0.\dot{1}85770750988142292490\dot{1} \qquad \fbox{連続 $9$ が分母の分数を循環節のドットで表現した} \\ &= 1.\dot{1}85770750988142292490\dot{1} \end{align*}

循環小数になる既約分数に、分母の素因数を掛けることで、循環節が減ることがあります。例えば $\displaystyle\frac{47}{253}$ を $23$ 倍してみましょう。

\begin{align*} \frac{47}{253}\cdot 23 &= \frac{47\cdot 23}{253} \\[3pt] &= \frac{1081}{253} \qquad \fbox{$47\cdot 23$ の掛け算を実行} \\[3pt] &= \frac{4\cdot 253 + 69}{253} \qquad \fbox{$1081\div 253$ の商は $4$ 余りは $69$} \\[3pt] &= 4 + \frac{69}{253} \\[3pt] &= 4 + \frac{69}{11\cdot 23} \qquad \fbox{$253$ を素因数分解} \\[3pt] &= 4 + \frac{69\cdot 3^2\cdot 11\cdot 4093\cdot 8779\cdot 21649\cdot 513239}{11\cdot 23\cdot 3^2\cdot 11\cdot 4093\cdot 8779\cdot 21649\cdot 513239} \qquad \fbox{分母が連続 $9$ になるよう分母・分子を倍分} \\[3pt] &= 4 + \frac{2727272727272727272727}{9999999999999999999999} \qquad \fbox{分母と分子のそれぞれの掛け算を実行} \\ &= 4 + 0.\dot{2}72727272727272727272\dot{7} \qquad \fbox{連続 $9$ が分母の分数を循環節のドットで表現した} \\ &= 4 + 0.\dot{2}\dot{7} \qquad \fbox{$22$ 桁の循環節の中に $11$ 回の $2$ 桁の同じパターンの繰り返しがあるので、循環節は $2$ 桁になる} \\[3pt] &= 4 + \frac{69}{253} \qquad \fbox{6行前から計算をやり直してみる} \\[3pt] &= 4 + \frac{3\cdot 23}{11\cdot 23} \qquad \fbox{分母と分子をそれぞれ素因数分解した} \\[3pt] &= 4 + \frac{3}{11} \qquad \fbox{$23$ で約分した} \\[3pt] &= 4 + \frac{3\cdot 3^2}{11\cdot 3^2} \qquad \fbox{分母が連続 $9$ になるよう倍分した} \\[3pt] &= 4 + \frac{27}{99} \qquad \fbox{分母と分子のそれぞれの掛け算を実行した} \\[3pt] &= 4 + 0.\dot{2}\dot{7} \qquad \fbox{連続 $9$ が分母の分数を循環節のドットで表現した} \end{align*}

\begin{align*} \frac{47}{253}\cdot 11 &= \frac{47\cdot 11}{253} \\[3pt] &= \frac{517}{253} \qquad \fbox{$47\cdot 11$ の掛け算を実行} \\[3pt] &= \frac{2\cdot 253 + 11}{253} \qquad \fbox{$517\div 253$ の商は $2$ 余りは $11$} \\[3pt] &= 2 + \frac{11}{253} \\[3pt] &= 2 + \frac{11}{11\cdot 23} \qquad \fbox{分母と分子をそれぞれ素因数分解した} \\[3pt] &= 2 + \frac{1}{23} \qquad \fbox{約分した} \\[3pt] &= 2 + \frac{1\cdot 3^2\cdot 11^2 \cdot 4093\cdot 8779\cdot 21649\cdot 513239}{23\cdot 3^2\cdot 11^2\cdot 4093\cdot 8779\cdot 21649\cdot 513239} \qquad \fbox{分母が連続 $9$ になるよう分母・分子を倍分} \\[3pt] &= 2 + \frac{0434782608695652173913}{9999999999999999999999} \qquad \fbox{分母と分子のそれぞれの掛け算を実行した} \\[3pt] &= 2 + 0.\dot{0}43478260869565217391\dot{3} \qquad \fbox{連続 $9$ が分母の分数を循環節のドットで表現した} \end{align*}

混合循環小数

目次へ↑

混合循環小数（小数第2位以降から循環節が始まる）は有限小数と純循環小数の積で表現できます。

例として、有限小数になる $\displaystyle\frac{27}{2500}$ と、純循環小数になる $\displaystyle\frac{3}{7}$ を掛けてみましょう。以下のように小数第5位から循環節6桁のパターン $285714$ の繰り返しが始まる無限小数 $\displaystyle\frac{81}{17500}=0.0046\dot{2}8571\dot{4}$ になることが分かります。

\begin{align*} \displaystyle\frac{27}{2500}\cdot\frac{3}{7} &\displaystyle = \frac{27}{2^2\cdot 5^4}\cdot\frac{3}{7} \qquad \fbox{$2500$ を素因数分解した} \\[3pt] &\displaystyle = \frac{2^2\cdot 27}{2^4\cdot 5^4}\cdot\frac{3}{7} \qquad \fbox{左の分母に $10^n$ を作るように倍分した} \\[3pt] &\displaystyle = \frac{1}{10^4}\cdot\frac{2^2\cdot 27\cdot 3}{7} \qquad \fbox{分子の掛け算を右に持って行った} \\[3pt] &\displaystyle = \frac{1}{10^4}\cdot\frac{324}{7} \qquad \fbox{分子の掛け算を実行した} \\[3pt] &\displaystyle = \frac{1}{10^4}\cdot\frac{46\cdot 7 + 2}{7} \qquad \fbox{$324\div 7$ の商「46」余り「2」を使った} \\[3pt] &\displaystyle = \frac{1}{10^4}\cdot\left(46 + \frac{2}{7}\right) \qquad \fbox{$\displaystyle \frac{1}{7}$ の掛け算を分配した} \\[3pt] &\displaystyle = 0.0046 + \frac{2}{7}\cdot\frac{1}{10^4} \qquad \fbox{$\displaystyle \frac{1}{10^4}$ の掛け算を分配した} \\[3pt] &\displaystyle = 0.0046 + \left(0.285714 + \frac{2}{7}\cdot\frac{1}{10^6}\right)\cdot\frac{1}{10^4} \qquad \fbox{循環節を生成する式 $\displaystyle\frac{2}{7} = 0.285714 + \frac{2}{7}\cdot\frac{1}{10^6}$ で置き換えた} \\[3pt] &\displaystyle = 0.0046 + 0.0000285714 + \frac{2}{7}\cdot\frac{1}{10^{10}} \qquad \fbox{$\displaystyle \frac{1}{10^4}$ の掛け算を分配した} \\[3pt] &\displaystyle = 0.0046 + 0.0000285714 + \left(0.285714 + \frac{2}{7}\cdot\frac{1}{10^6}\right)\cdot\frac{1}{10^{10}} \qquad \fbox{循環節を生成する式 $\displaystyle\frac{2}{7} = 0.285714 + \frac{2}{7}\cdot\frac{1}{10^6}$ で置き換えた} \\[3pt] &\displaystyle = 0.0046 + 0.0000285714 + 0.0000000000285714 + \frac{2}{7}\cdot\frac{1}{10^{16}} \qquad \fbox{$\displaystyle \frac{1}{10^{10}}$ の掛け算を分配した} \\[3pt] &\displaystyle = 0.0046 + 0.0000285714 + 0.0000000000285714 + \left(0.285714 + \frac{2}{7}\cdot\frac{1}{10^6}\right)\cdot\frac{1}{10^{16}} \qquad \fbox{循環節を生成する式 $\displaystyle\frac{2}{7} = 0.285714 + \frac{2}{7}\cdot\frac{1}{10^6}$ で置き換えた} \\[3pt] &\displaystyle = 0.0046 + 0.0000285714 + 0.0000000000285714 + 0.0000000000000000285714 + \frac{2}{7}\cdot\frac{1}{10^{22}} \qquad \fbox{$\displaystyle \frac{1}{10^{16}}$ の掛け算を分配した} \\[3pt] &\vdots \qquad \fbox{同じ処理の繰り返しが無限に続く} \end{align*}

$i, n$ が整数で $0\le i\le n$ で、$b$ は $2, 5$ を素因数に持たない整数、$c$ は $2, 5$ と $b$ の素因数を素因数に持たない整数の時 \begin{align*} \frac{c}{2^i\cdot 5^n\cdot b} &= \frac{c\cdot 2^{n-i}}{10^n\cdot b} \\[3pt] \frac{c}{2^n\cdot 5^i\cdot b} &= \frac{c\cdot 5^{n-i}}{10^n\cdot b} \\[3pt] \end{align*} となり小数第$n$位から循環節が始まる循環小数になる。

ちなみに、有限小数になる $\displaystyle\frac{27}{2500}$ と、純循環小数になる $\displaystyle\frac{3}{7}$ の掛け算を、次のように見てみましょう。

有限小数も循環小数とみなせる

目次へ↑

実は有限小数は見方を変えれば循環小数とみなせることが分かります。しかも有限小数の循環小数表現は2種類あります。

例えば $1$ は次のような2種類の循環小数で表すことができます。

\begin{align*} 1 &= 1.0000000000000000\cdots \qquad\fbox{循環節1桁の $0$ が無限に続く} \\ 1 &= 0.9999999999999999\cdots \qquad\fbox{循環節1桁の $9$ が無限に続く} \end{align*}

\begin{align*} \begin{array}{rll} 1 &\displaystyle = \frac{10}{1}\cdot\frac{1}{10} &\qquad\fbox{分母と分子に $10$ を掛けた} \\[3pt] &\displaystyle = \frac{9+1}{1}\cdot\frac{1}{10} &\qquad\fbox{$10=9+1$ で置き換えた} \\[3pt] &\displaystyle = \left(9+1\right)\cdot\frac{1}{10} &\qquad\fbox{$\displaystyle\frac{1}{1}$ の掛け算を分配した} \\[3pt] &\displaystyle = 0.9+1\cdot \frac{1}{10} &\qquad\fbox{$\displaystyle\frac{1}{10}$ の掛け算を分配した} \\[3pt] \end{array} \end{align*}

\begin{align*} \color{red}{1} &= 0.9+\color{red}{1}\cdot\frac{1}{10} \\[3pt] &= 0.9+\left(0.9+\color{red}{1}\cdot\frac{1}{10}\right)\cdot\frac{1}{10} \qquad\fbox{$\color{red}{1}=0.9+\color{red}{1}\cdot\frac{1}{10}$ で置き換えた} \\[3pt] &= 0.9+0.09+\color{red}{1}\cdot\frac{1}{10^2} \qquad\fbox{$\displaystyle\frac{1}{10}$ の掛け算を分配した} \\[3pt] &= 0.9+0.09+\left(0.9+\color{red}{1}\cdot\frac{1}{10}\right)\cdot\frac{1}{10^2} \qquad\fbox{$\color{red}{1}=0.9+\color{red}{1}\cdot\frac{1}{10}$ で置き換えた} \\[3pt] &= 0.9+0.09+0.009+\color{red}{1}\cdot\frac{1}{10^3} \qquad\fbox{$\displaystyle\frac{1}{10}$ の掛け算を分配した} \\[3pt] &\vdots \qquad \fbox{同じ処理の繰り返しが無限に続く} \end{align*}

\begin{align*} \frac{1}{9} &= 0.1111111111111111\cdots \qquad\fbox{循環節1桁の $1$ が無限に続く} \\[3pt] \frac{2}{9} &= 0.2222222222222222\cdots \qquad\fbox{循環節1桁の $2$ が無限に続く} \\[3pt] \frac{1}{3} = \frac{3}{9} &= 0.3333333333333333\cdots \qquad\fbox{循環節1桁の $3$ が無限に続く} \\[3pt] \frac{4}{9} &= 0.4444444444444444\cdots \qquad\fbox{循環節1桁の $4$ が無限に続く} \\[3pt] \frac{5}{9} &= 0.5555555555555555\cdots \qquad\fbox{循環節1桁の $5$ が無限に続く} \\[3pt] \frac{2}{3} = \frac{6}{9} &= 0.6666666666666666\cdots \qquad\fbox{循環節1桁の $6$ が無限に続く} \\[3pt] \frac{7}{9} &= 0.7777777777777777\cdots \qquad\fbox{循環節1桁の $7$ が無限に続く} \\[3pt] \frac{8}{9} &= 0.8888888888888888\cdots \qquad\fbox{循環節1桁の $8$ が無限に続く} \\[3pt] 1 = \frac{9}{9} &= 0.9999999999999999\cdots \qquad\fbox{循環節1桁の $9$ が無限に続く} \\[3pt] \end{align*}

$\displaystyle \frac{1}{2}$ は次の2種類の循環小数とみなすことができます。

\begin{align*} \frac{1}{2} &= 0.50000000000000000\cdots \qquad\fbox{循環節1桁の $0$ が無限に続く} \\[3pt] \frac{1}{2} &= 0.49999999999999999\cdots \qquad\fbox{循環節1桁の $9$ が無限に続く} \\[3pt] \end{align*}

まず次のように $a$ を置きます。 \begin{align*} a = 0.499999999999999 \cdots \end{align*} 循環節がうまく消えるように $a$ を何倍かして両辺差っ引きます。 \begin{align*} 100a &= 49.999999999999999 \cdots \qquad\fbox{$a$ を $100$ 倍} \\ 10a &= \phantom{0}4.9999999999999999 \cdots \qquad\fbox{$a$ を $10$ 倍} \\ (100-10)a &= 49-4 \qquad\fbox{上の2式の両辺を引くと循環節が消える} \\ 90a &= 45 \\[3pt] a &= \frac{45}{90} \\[3pt] &= \frac{3^2\cdot 5}{2\cdot 3^2\cdot 5} \\[3pt] &= \frac{1}{2} \\[3pt] \end{align*}

有限小数の $0.123$ は次の2種類の循環小数とみなすことができます。

\begin{align*} 0.123 &= 0.1230000000000000000\cdots \qquad\fbox{循環節1桁の $0$ が無限に続く} \\[3pt] 0.123 &= 0.1229999999999999999\cdots \qquad\fbox{循環節1桁の $9$ が無限に続く} \\[3pt] \end{align*}

まず次のように $a$ を置きます。 \begin{align*} a = 0.12299999999999999 \cdots \end{align*} 循環節がうまく消えるように $a$ を何倍かして両辺差っ引きます。 \begin{align*} 10000a &= 1229.999999999999999 \cdots \qquad\fbox{$a$ を $10000$ 倍} \\ 1000a &= \phantom{0}122.9999999999999999 \cdots \qquad\fbox{$a$ を $1000$ 倍} \\ (10000-1000)a &= 1229-122 \qquad\fbox{上の2式の両辺を引くと循環節が消える} \\ 9000a &= 1107 \\[3pt] a &= \frac{1107}{9000} \\[3pt] &= \frac{3^3\cdot 41}{2^3\cdot 3^2\cdot 5^3} \\[3pt] &= \frac{3\cdot 41}{2^3\cdot 5^3} \\[3pt] &= \frac{123}{1000} \\[3pt] &= 0.123 \\[3pt] \end{align*}

\begin{align*} 0 &= 0.0000000000000000\cdots \qquad\fbox{循環節1桁の $0$ が無限に続く} \\ \end{align*}

他の位取り法

目次へ↑

位取り法が変わればどの数が有限小数になるのか循環小数になるのか変わってきます。 10進法では $10=2\cdot 5$ だったので $2$ や $5$ がどのように分母に入ってくるかが鍵となっていました。

10進法での $\displaystyle \frac{1}{2}=0.5$ が他の位取り法でどのようになるのか見てみましょう。

10進法での $\displaystyle \frac{1}{2}$ は2進法では $0.1$ と表されます。

10進法での $\displaystyle \frac{1}{2}$ が3進法でどのように表されるのか調べるため次のような変形を行います。

\begin{align*} \begin{array}{rll} \displaystyle\frac{1}{2} &\displaystyle = \frac{1}{2}\cdot\frac{3}{3} &\qquad\fbox{$\displaystyle 1=\frac{3}{3}$ を掛けた} \\[3pt] &\displaystyle = \frac{3}{2}\cdot\frac{1}{3} &\qquad\fbox{分子のみ計算した} \\[3pt] &\displaystyle = \frac{1\cdot 2 + 1}{2}\cdot\frac{1}{3} &\qquad\fbox{$3\div 2$ の商「1」余り「1」} \\[3pt] &\displaystyle = \left(1 + \frac{1}{2}\right)\cdot\frac{1}{3} &\qquad\fbox{$\displaystyle \frac{1}{2}$ の掛け算を分配} \\[3pt] &\displaystyle = \frac{1}{3} + \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3} &\qquad\fbox{$\displaystyle \frac{1}{3}$ の掛け算を分配} \\[3pt] \end{array} \end{align*}

\begin{align*} \color{red}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{3} + \color{red}{\frac{1}{2}}\cdot\frac{1}{3} \end{align*}

\begin{align*} \color{red}{\frac{1}{2}} &= \frac{1}{3} + \color{red}{\frac{1}{2}}\cdot\frac{1}{3} \\[3pt] &= \frac{1}{3} + \left(\frac{1}{3} + \color{red}{\frac{1}{2}}\cdot\frac{1}{3}\right)\cdot\frac{1}{3} \qquad \fbox{$\displaystyle\color{red}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{3}+\color{red}{\frac{1}{2}}\cdot\frac{1}{3}$ で置き換えた} \\[3pt] &= \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \color{red}{\frac{1}{2}}\cdot\frac{1}{3^2} \qquad \fbox{$\displaystyle\frac{1}{3}$ の掛け算を分配した} \\[3pt] &= \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \left(\frac{1}{3} + \color{red}{\frac{1}{2}}\cdot\frac{1}{3}\right)\cdot\frac{1}{3^2} \qquad \fbox{$\displaystyle\color{red}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{3}+\color{red}{\frac{1}{2}}\cdot\frac{1}{3}$ で置き換えた} \\[3pt] &= \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} + \color{red}{\frac{1}{2}}\cdot\frac{1}{3^3} \qquad \fbox{$\displaystyle\frac{1}{3^2}$ の掛け算を分配した} \\[3pt] &= \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} + \left(\frac{1}{3} + \color{red}{\frac{1}{2}}\cdot\frac{1}{3}\right)\cdot\frac{1}{3^3} \qquad \fbox{$\displaystyle\color{red}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{3}+\color{red}{\frac{1}{2}}\cdot\frac{1}{3}$ で置き換えた} \\[3pt] &= \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} + \frac{1}{3^4} + \color{red}{\frac{1}{2}}\cdot\frac{1}{3^4} \qquad \fbox{$\displaystyle\frac{1}{3^3}$ の掛け算を分配した} \\[3pt] &\vdots \qquad \fbox{同じ処理の繰り返しが無限に続く} \end{align*}

次のように変形できるので 10進法での $\displaystyle \frac{1}{2}$ は4進法では $0.2$ になります。

\begin{align*} \begin{array}{rll} \displaystyle\frac{1}{2} &\displaystyle = \frac{1}{2}\cdot\frac{4}{4} &\qquad\fbox{$\displaystyle 1=\frac{4}{4}$ を掛けた} \\[3pt] &\displaystyle = \frac{4}{2}\cdot\frac{1}{4} &\qquad\fbox{分子のみ計算した} \\[3pt] &\displaystyle = \frac{2\cdot 2}{2}\cdot\frac{1}{4} &\qquad\fbox{$4\div 2$ の商「2」余り「0」} \\[3pt] &\displaystyle = 2\cdot\frac{1}{4} &\qquad\fbox{$2$ で約分した} \\[3pt] &\displaystyle = \frac{2}{4} & \\[3pt] \end{array} \end{align*}

10進法での $\displaystyle \frac{1}{2}$ が5進法でどのように表されるのか調べるため次のような変形を行います。

\begin{align*} \begin{array}{rll} \displaystyle\frac{1}{2} &\displaystyle = \frac{1}{2}\cdot\frac{5}{5} &\qquad\fbox{$\displaystyle 1=\frac{5}{5}$ を掛けた} \\[3pt] &\displaystyle = \frac{5}{2}\cdot\frac{1}{5} &\qquad\fbox{分子のみ計算した} \\[3pt] &\displaystyle = \frac{2\cdot 2 + 1}{2}\cdot\frac{1}{5} &\qquad\fbox{$5\div 2$ の商「2」余り「1」} \\[3pt] &\displaystyle = \left(2 + \frac{1}{2}\right)\cdot\frac{1}{5} &\qquad\fbox{$\displaystyle \frac{1}{2}$ の掛け算を分配} \\[3pt] &\displaystyle = \frac{2}{5} + \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{5} &\qquad\fbox{$\displaystyle \frac{1}{5}$ の掛け算を分配} \\[3pt] \end{array} \end{align*}

\begin{align*} \color{red}{\frac{1}{2}} = \frac{2}{5} + \color{red}{\frac{1}{2}}\cdot\frac{1}{5} \end{align*}

\begin{align*} \color{red}{\frac{1}{2}} &= \frac{2}{5} + \color{red}{\frac{1}{2}}\cdot\frac{1}{5} \\[3pt] &= \frac{2}{5} + \left(\frac{2}{5} + \color{red}{\frac{1}{2}}\cdot\frac{1}{5}\right)\cdot\frac{1}{5} \qquad \fbox{$\displaystyle\color{red}{\frac{1}{2}}=\frac{2}{5}+\color{red}{\frac{1}{2}}\cdot\frac{2}{5}$ で置き換えた} \\[3pt] &= \frac{2}{5} + \frac{2}{5^2} + \color{red}{\frac{1}{2}}\cdot\frac{1}{5^2} \qquad \fbox{$\displaystyle\frac{1}{5}$ の掛け算を分配した} \\[3pt] &= \frac{2}{5} + \frac{2}{5^2} + \left(\frac{2}{5} + \color{red}{\frac{1}{2}}\cdot\frac{1}{5}\right)\cdot\frac{1}{5^2} \qquad \fbox{$\displaystyle\color{red}{\frac{1}{2}}=\frac{2}{5}+\color{red}{\frac{1}{2}}\cdot\frac{1}{5}$ で置き換えた} \\[3pt] &= \frac{2}{5} + \frac{2}{5^2} + \frac{2}{5^3} + \color{red}{\frac{1}{2}}\cdot\frac{1}{5^3} \qquad \fbox{$\displaystyle\frac{1}{5^2}$ の掛け算を分配した} \\[3pt] &= \frac{2}{5} + \frac{2}{5^2} + \frac{2}{5^3} + \left(\frac{2}{5} + \color{red}{\frac{1}{2}}\cdot\frac{1}{5}\right)\cdot\frac{1}{5^3} \qquad \fbox{$\displaystyle\color{red}{\frac{1}{2}}=\frac{2}{5}+\color{red}{\frac{1}{2}}\cdot\frac{1}{5}$ で置き換えた} \\[3pt] &= \frac{2}{5} + \frac{2}{5^2} + \frac{2}{5^3} + \frac{2}{5^4} + \color{red}{\frac{1}{2}}\cdot\frac{1}{5^4} \qquad \fbox{$\displaystyle\frac{1}{5^3}$ の掛け算を分配した} \\[3pt] &\vdots \qquad \fbox{同じ処理の繰り返しが無限に続く} \end{align*}

同じ $\displaystyle \frac{1}{2}$ の値でも、何進法で表現するのかによって、有限小数になったり、循環小数になったりするわけです。以下に色々な分母の分数を、様々な位取りの小数で表現したまとめを示します。有限小数は赤色で、純循環小数は青色で、混合循環小数は緑色で表示します。計算プログラムが（こちら）にありますので色々試してみてください。

\begin{align*} \begin{array}{c||l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|} \hline \mbox{10進数分数}&\mbox{2進数}&\mbox{3進数}&\mbox{4進数}&\mbox{5進数}&\mbox{6進数}&\mbox{7進数}&\mbox{8進数}&\mbox{9進数}&\mbox{10進数}&\mbox{11進数}&\mbox{12進数}&\mbox{13進数}&\mbox{14進数}&\mbox{15進数}&\mbox{16進数} \\ \hline\hline \displaystyle\frac{1}{2}&\displaystyle\frac{1}{10}=\color{red}{0.1}&\displaystyle\frac{1}{2}=\color{blue}{0.\dot{1}}&\displaystyle\frac{1}{2}=\color{red}{0.2}&\displaystyle\frac{1}{2}=\color{blue}{0.\dot{2}}&\displaystyle\frac{1}{2}=\color{red}{0.3}&\displaystyle\frac{1}{2}=\color{blue}{0.\dot{3}}&\displaystyle\frac{1}{2}=\color{red}{0.4}&\displaystyle\frac{1}{2}=\color{blue}{0.\dot{4}}&\displaystyle\frac{1}{2}=\color{red}{0.5}&\rm\displaystyle\frac{1}{2}=\color{blue}{0.\dot{5}}&\rm\displaystyle\frac{1}{2}=\color{red}{0.6}&\rm\displaystyle\frac{1}{2}=\color{blue}{0.\dot{6}}&\rm\displaystyle\frac{1}{2}=\color{red}{0.7}&\rm\displaystyle\frac{1}{2}=\color{blue}{0.\dot{7}}&\rm\displaystyle\frac{1}{2}=\color{red}{0.8} \\ \hline \displaystyle\frac{1}{3}&\displaystyle\frac{1}{11}=\color{blue}{0.\dot{0}\dot{1}}&\displaystyle\frac{1}{10}=\color{red}{0.1}&\displaystyle\frac{1}{3}=\color{red}{0.1}\color{blue}{0.\dot{1}}&\displaystyle\frac{1}{3}=\color{blue}{0.\dot{1}\dot{3}}&\displaystyle\frac{1}{3}=\color{red}{0.2}&\displaystyle\frac{1}{3}=\color{blue}{0.\dot{2}}&\displaystyle\frac{1}{3}=\color{blue}{0.\dot{2}\dot{5}}&\displaystyle\frac{1}{3}=\color{red}{0.3}&\displaystyle\frac{1}{3}=\color{blue}{0.\dot{3}}&\rm\displaystyle\frac{1}{3}=\color{blue}{0.\dot{3}\dot{7}}&\rm\displaystyle\frac{1}{3}=\color{red}{0.4}&\rm\displaystyle\frac{1}{3}=\color{blue}{0.\dot{4}}&\rm\displaystyle\frac{1}{3}=\color{blue}{0.\dot{4}\dot{9}}&\rm\displaystyle\frac{1}{3}=\color{red}{0.5}&\rm\displaystyle\frac{1}{3}=\color{blue}{0.\dot{5}} \\ \hline \displaystyle\frac{1}{4}&\displaystyle\frac{1}{100}=\color{red}{0.01}&\displaystyle\frac{1}{11}=\color{blue}{0.\dot{0}\dot{2}}&\displaystyle\frac{1}{10}=\color{red}{0.1}&\displaystyle\frac{1}{4}=\color{blue}{0.\dot{1}}&\displaystyle\frac{1}{4}=\color{red}{0.13}&\displaystyle\frac{1}{4}=\color{blue}{0.\dot{1}\dot{5}}&\displaystyle\frac{1}{4}=\color{red}{0.2}&\displaystyle\frac{1}{4}=\color{blue}{0.\dot{2}}&\displaystyle\frac{1}{4}=\color{red}{0.25}&\rm\displaystyle\frac{1}{4}=\color{blue}{0.\dot{2}\dot{8}}&\rm\displaystyle\frac{1}{4}=\color{red}{0.3}&\rm\displaystyle\frac{1}{4}=\color{blue}{0.\dot{3}}&\rm\displaystyle\frac{1}{4}=\color{red}{0.37}&\rm\displaystyle\frac{1}{4}=\color{blue}{0.\dot{3}\dot{b}}&\rm\displaystyle\frac{1}{4}=\color{red}{0.4} \\ \hline \displaystyle\frac{1}{5}&\displaystyle\frac{1}{101}=\color{blue}{0.\dot{0}01\dot{1}}&\displaystyle\frac{1}{12}=\color{blue}{0.\dot{0}12\dot{1}}&\displaystyle\frac{1}{11}=\color{blue}{0.\dot{0}\dot{3}}&\displaystyle\frac{1}{10}=\color{red}{0.1}&\displaystyle\frac{1}{5}=\color{blue}{0.\dot{1}}&\displaystyle\frac{1}{5}=\color{blue}{0.\dot{1}25\dot{4}}&\displaystyle\frac{1}{5}=\color{blue}{0.\dot{1}46\dot{3}}&\displaystyle\frac{1}{5}=\color{blue}{0.\dot{1}\dot{7}}&\displaystyle\frac{1}{5}=\color{red}{0.2}&\rm\displaystyle\frac{1}{5}=\color{blue}{0.\dot{2}}&\rm\displaystyle\frac{1}{5}=\color{blue}{0.\dot{2}49\dot{7}}&\rm\displaystyle\frac{1}{5}=\color{blue}{0.\dot{2}7a\dot{5}}&\rm\displaystyle\frac{1}{5}=\color{blue}{0.\dot{2}\dot{b}}&\rm\displaystyle\frac{1}{5}=\color{red}{0.3}&\rm\displaystyle\frac{1}{5}=\color{blue}{0.\dot{3}} \\ \hline \displaystyle\frac{1}{6}&\displaystyle\frac{1}{110}=\color{green}{0.0\dot{0}\dot{1}}&\displaystyle\frac{1}{20}=\color{green}{0.0\dot{1}}&\displaystyle\frac{1}{12}\color{green}{0.0\dot{2}}&\displaystyle\frac{1}{11}=\color{blue}{0.\dot{0}\dot{4}}&\displaystyle\frac{1}{10}=\color{red}{0.1}&\displaystyle\frac{1}{6}=\color{blue}{0.\dot{1}}&\displaystyle\frac{1}{6}=\color{green}{0.1\dot{2}\dot{5}}&\displaystyle\frac{1}{6}=\color{green}{0.1\dot{4}}&\displaystyle\frac{1}{6}=\color{green}{0.1\dot{6}}&\rm\displaystyle\frac{1}{6}=\color{blue}{0.\dot{1}\dot{9}}&\rm\displaystyle\frac{1}{6}=\color{red}{0.2}&\rm\displaystyle\frac{1}{6}=\color{blue}{0.\dot{2}}&\rm\displaystyle\frac{1}{6}=\color{green}{0.2\dot{4}\dot{9}}&\rm\displaystyle\frac{1}{6}=\color{green}{0.2\dot{7}}&\rm\displaystyle\frac{1}{6}=\color{green}{0.2\dot{a}} \\ \hline \displaystyle\frac{1}{7}&\displaystyle\frac{1}{111}=\color{blue}{0.\dot{0}0\dot{1}}&\displaystyle\frac{1}{21}=\color{blue}{0.\dot{0}1021\dot{2}}&\displaystyle\frac{1}{13}=\color{blue}{0.\dot{0}2\dot{1}}&\displaystyle\frac{1}{12}=\color{blue}{0.\dot{0}3241\dot{2}}&\displaystyle\frac{1}{11}=\color{blue}{0.\dot{0}\dot{5}}&\displaystyle\frac{1}{10}=\color{red}{0.1}&\displaystyle\frac{1}{7}=\color{blue}{0.\dot{1}}&\displaystyle\frac{1}{7}=\color{blue}{0.\dot{1}2\dot{5}}&\displaystyle\frac{1}{7}=\color{blue}{0.\dot{1}4285\dot{7}}&\rm\displaystyle\frac{1}{7}=\color{blue}{0.\dot{1}6\dot{3}}&\rm\displaystyle\frac{1}{7}=\color{blue}{0.\dot{1}86a3\dot{5}}&\rm\displaystyle\frac{1}{7}=\color{blue}{0.\dot{1}\dot{b}}&\rm\displaystyle\frac{1}{7}=\color{red}{0.2}&\rm\displaystyle\frac{1}{7}=\color{blue}{0.\dot{2}}&\rm\displaystyle\frac{1}{7}=\color{blue}{0.\dot{2}4\dot{9}} \\ \hline \displaystyle\frac{1}{8}&\displaystyle\frac{1}{1000}=\color{red}{0.001}&\displaystyle\frac{1}{22}=\color{blue}{0.\dot{0}\dot{1}}&\displaystyle\frac{1}{20}=\color{red}{0.02}&\displaystyle\frac{1}{13}=\color{blue}{0.\dot{0}\dot{3}}&\displaystyle\frac{1}{12}=\color{red}{0.043}&\displaystyle\frac{1}{11}=\color{blue}{0.\dot{0}\dot{6}}&\displaystyle\frac{1}{10}=\color{red}{0.1}&\displaystyle\frac{1}{8}=\color{blue}{0.\dot{1}}&\displaystyle\frac{1}{8}=\color{red}{0.125}&\rm\displaystyle\frac{1}{8}=\color{blue}{0.\dot{1}\dot{4}}&\rm\displaystyle\frac{1}{8}=\color{red}{0.16}&\rm\displaystyle\frac{1}{8}=\color{blue}{0.\dot{1}\dot{8}}&\rm\displaystyle\frac{1}{8}=\color{red}{0.1a7}&\rm\displaystyle\frac{1}{8}=\color{blue}{0.\dot{1}\dot{d}}&\rm\displaystyle\frac{1}{8}=\color{red}{0.2} \\ \hline \displaystyle\frac{1}{9}&\displaystyle\frac{1}{10001}=\color{blue}{0.\dot{0}0011\dot{1}}&\displaystyle\frac{1}{100}=\color{red}{0.01}&\displaystyle\frac{1}{21}=\color{blue}{0.\dot{0}1\dot{3}}&\displaystyle\frac{1}{14}=\color{blue}{0.\dot{0}2342\dot{1}}&\displaystyle\frac{1}{13}=\color{red}{0.04}&\displaystyle\frac{1}{12}=\color{blue}{0.\dot{0}5\dot{3}}&\displaystyle\frac{1}{11}=\color{blue}{0.\dot{0}\dot{7}}&\displaystyle\frac{1}{10}=\color{red}{0.1}&\displaystyle\frac{1}{9}=\color{blue}{0.\dot{1}}&\rm\displaystyle\frac{1}{9}=\color{blue}{0.\dot{1}2498\dot{6}}&\rm\displaystyle\frac{1}{9}=\color{red}{0.14}&\rm\displaystyle\frac{1}{9}=\color{blue}{0.\dot{1}5\dot{a}}&\rm\displaystyle\frac{1}{9}=\color{blue}{0.\dot{1}7ac6\dot{3}}&\rm\displaystyle\frac{1}{9}=\color{red}{0.1a}&\rm\displaystyle\frac{1}{9}=\color{blue}{0.\dot{1}c\dot{7}} \\ \hline \displaystyle\frac{1}{10}&\displaystyle\frac{1}{1010}=\color{green}{0.0\dot{0}01\dot{1}}&\displaystyle\frac{1}{101}=\color{blue}{0.\dot{0}02\dot{2}}&\displaystyle\frac{1}{22}=\color{green}{0.0\dot{1}\dot{2}}&\displaystyle\frac{1}{20}=\color{green}{0.0\dot{2}}&\displaystyle\frac{1}{14}=\color{green}{0.0\dot{3}}&\displaystyle\frac{1}{13}=\color{blue}{0.\dot{0}46\dot{2}}&\displaystyle\frac{1}{12}=\color{green}{0.0\dot{6}31\dot{4}}&\displaystyle\frac{1}{11}=\color{blue}{0.\dot{0}\dot{8}}&\displaystyle\frac{1}{10}=\color{red}{0.1}&\rm\displaystyle\frac{1}{a}=\color{blue}{0.\dot{1}}&\rm\displaystyle\frac{1}{a}=\color{green}{0.1\dot{2}49\dot{7}}&\rm\displaystyle\frac{1}{a}=\color{blue}{\rm 0.\dot{1}3b\dot{9}}&\rm\displaystyle\frac{1}{a}=\color{green}{\rm 0.1\dot{5}\dot{8}}&\rm\displaystyle\frac{1}{a}=\color{green}{0.1\dot{7}}&\rm\displaystyle\frac{1}{a}=\color{green}{0.1\dot{9}} \\ \hline \displaystyle\frac{1}{11}&\displaystyle\frac{1}{1011}=\color{blue}{0.\dot{0}00101110\dot{1}}&\displaystyle\frac{1}{102}=\color{blue}{0.\dot{0}021\dot{1}}&\displaystyle\frac{1}{23}=\color{blue}{0.\dot{0}113\dot{1}}&\displaystyle\frac{1}{21}=\color{blue}{0.\dot{0}211\dot{4}}&\displaystyle\frac{1}{15}=\color{blue}{0.\dot{0}31345242\dot{1}}&\displaystyle\frac{1}{14}=\color{blue}{0.\dot{0}43116235\dot{5}}&\displaystyle\frac{1}{13}=\color{blue}{0.\dot{0}56427213\dot{5}}&\displaystyle\frac{1}{12}=\color{blue}{0.\dot{0}732\dot{4}}&\displaystyle\frac{1}{11}=\color{blue}{0.\dot{0}\dot{9}}&\rm\displaystyle\frac{1}{10}=\color{red}{0.1}&\rm\displaystyle\frac{1}{b}=\color{blue}{0.\dot{1}}&\rm\displaystyle\frac{1}{b}=\color{blue}{0.\dot{1}2495ba83\dot{7}}&\rm\displaystyle\frac{1}{b}=\color{blue}{0.\dot{1}3b6\dot{5}}&\rm\displaystyle\frac{1}{b}=\color{blue}{0.\dot{1}56c\dot{4}}&\rm\displaystyle\frac{1}{b}=\color{blue}{0.\dot{1}745\dot{d}} \\ \hline \displaystyle\frac{1}{12}&\displaystyle\frac{1}{1100}=\color{green}{0.00\dot{0}\dot{1}}&\displaystyle\frac{1}{110}=\color{green}{0.0\dot{0}\dot{2}}&\displaystyle\frac{1}{30}=\color{green}{0.0\dot{1}}&\displaystyle\frac{1}{22}=\color{blue}{0.\dot{0}\dot{2}}&\displaystyle\frac{1}{20}=\color{red}{0.03}&\displaystyle\frac{1}{15}=\color{blue}{0.\dot{0}\dot{4}}&\displaystyle\frac{1}{14}=\color{green}{0.0\dot{5}\dot{2}}&\displaystyle\frac{1}{13}=\color{green}{0.0\dot{6}}&\displaystyle\frac{1}{12}=\color{green}{0.08\dot{3}}&\rm\displaystyle\frac{1}{11}=\color{blue}{0.\dot{0}\dot{a}}&\rm\displaystyle\frac{1}{10}=\color{red}{0.1}&\rm\displaystyle\frac{1}{c}=\color{blue}{0.\dot{1}}&\rm\displaystyle\frac{1}{c}=\color{green}{0.12\dot{4}\dot{9}}&\rm\displaystyle\frac{1}{c}=\color{green}{0.1\dot{3}\dot{b}}&\rm\displaystyle\frac{1}{c}=\color{green}{0.1\dot{5}} \\ \hline \displaystyle\frac{1}{13}&\displaystyle\frac{1}{1101}=\color{blue}{0.\dot{0}0010011101\dot{1}}&\displaystyle\frac{1}{111}=\color{blue}{0.\dot{0}0\dot{2}}&\displaystyle\frac{1}{31}=\color{blue}{0.\dot{0}1032\dot{3}}&\displaystyle\frac{1}{23}=\color{blue}{0.\dot{0}14\dot{3}}&\displaystyle\frac{1}{21}=\color{blue}{0.\dot{0}2434053121\dot{5}}&\displaystyle\frac{1}{16}=\color{blue}{0.\dot{0}3524563142\dot{1}}&\displaystyle\frac{1}{15}=\color{blue}{0.\dot{0}47\dot{3}}&\displaystyle\frac{1}{14}=\color{blue}{0.\dot{0}6\dot{2}}&\displaystyle\frac{1}{13}=\color{blue}{0.\dot{0}7692\dot{3}}&\rm\displaystyle\frac{1}{12}=\color{blue}{0.\dot{0}93425a1768\dot{5}}&\rm\displaystyle\frac{1}{11}=\color{blue}{0.\dot{0}\dot{b}}&\rm\displaystyle\frac{1}{10}=\color{red}{0.1}&\rm\displaystyle\frac{1}{d}=\color{blue}{0.\dot{1}}&\rm\displaystyle\frac{1}{d}=\color{blue}{0.\dot{1}24936dca5b\dot{8}}&\rm\displaystyle\frac{1}{d}=\color{blue}{0.\dot{1}3\dot{b}} \\ \hline \displaystyle\frac{1}{14}&\displaystyle\frac{1}{1110}=\color{green}{0.0\dot{0}0\dot{1}}&\displaystyle\frac{1}{112}=\color{blue}{0.\dot{0}0122\dot{1}}&\displaystyle\frac{1}{32}=\color{green}{0.0\dot{1}0\dot{2}}&\displaystyle\frac{1}{24}=\color{blue}{0.\dot{0}1343\dot{1}}&\displaystyle\frac{1}{22}=\color{green}{0.0\dot{2}\dot{3}}&\displaystyle\frac{1}{20}=\color{green}{0.0\dot{3}}&\displaystyle\frac{1}{16}=\color{green}{0.0\dot{4}}&\displaystyle\frac{1}{15}=\color{blue}{0.\dot{0}5\dot{7}}&\displaystyle\frac{1}{14}=\color{green}{0.0\dot{7}1428\dot{5}}&\rm\displaystyle\frac{1}{13}=\color{blue}{0.\dot{0}8\dot{7}}&\rm\displaystyle\frac{1}{12}=\color{green}{0.0\dot{a}3518\dot{6}}&\rm\displaystyle\frac{1}{11}=\color{blue}{0.\dot{0}\dot{c}}&\rm\displaystyle\frac{1}{10}=\color{red}{0.1}&\rm\displaystyle\frac{1}{e}=\color{blue}{0.\dot{1}}&\rm\displaystyle\frac{1}{e}=\color{green}{0.1\dot{2}4\dot{9}} \\ \hline \displaystyle\frac{1}{15}&\displaystyle\frac{1}{1111}=\color{blue}{0.\dot{0}00\dot{1}}&\displaystyle\frac{1}{120}=\color{green}{0.0\dot{0}12\dot{1}}&\displaystyle\frac{1}{33}=\color{blue}{0.\dot{0}\dot{1}}&\displaystyle\frac{1}{30}=\color{green}{0.0\dot{1}\dot{3}}&\displaystyle\frac{1}{23}=\color{green}{0.0\dot{2}}&\displaystyle\frac{1}{21}=\color{blue}{0.\dot{0}31\dot{6}}&\displaystyle\frac{1}{17}=\color{blue}{0.\dot{0}42\dot{1}}&\displaystyle\frac{1}{16}=\color{green}{0.0\dot{5}\dot{3}}&\displaystyle\frac{1}{15}=\color{green}{0.0\dot{6}}&\rm\displaystyle\frac{1}{14}=\color{blue}{0.\dot{0}\dot{8}}&\rm\displaystyle\frac{1}{13}=\color{green}{0.0\dot{9}72\dot{4}}&\rm\displaystyle\frac{1}{12}=\color{blue}{0.\dot{0}b3\dot{6}}&\rm\displaystyle\frac{1}{11}=\color{blue}{0.\dot{0}\dot{d}}&\rm\displaystyle\frac{1}{10}=\color{red}{0.1}&\rm\displaystyle\frac{1}{f}=\color{blue}{0.\dot{1}} \\ \hline \displaystyle\frac{1}{16}&\displaystyle\frac{1}{10000}=\color{red}{0.0001}&\displaystyle\frac{1}{121}=\color{blue}{0.\dot{0}01\dot{2}}&\displaystyle\frac{1}{100}=\color{red}{0.01}&\displaystyle\frac{1}{31}=\color{blue}{0.\dot{0}12\dot{4}}&\displaystyle\frac{1}{24}=\color{red}{0.0213}&\displaystyle\frac{1}{22}=\color{blue}{0.\dot{0}\dot{3}}&\displaystyle\frac{1}{20}=\color{red}{0.04}&\displaystyle\frac{1}{17}=\color{blue}{0.\dot{0}\dot{5}}&\displaystyle\frac{1}{16}=\color{red}{0.0625}&\rm\displaystyle\frac{1}{15}=\color{blue}{0.\dot{0}76\dot{2}}&\rm\displaystyle\frac{1}{14}=\color{red}{0.09}&\rm\displaystyle\frac{1}{13}=\color{blue}{0.\dot{0}a7\dot{4}}&\rm\displaystyle\frac{1}{12}=\color{red}{0.0c37}&\rm\displaystyle\frac{1}{11}=\color{blue}{0.\dot{0}\dot{e}}&\rm\displaystyle\frac{1}{10}=\color{red}{0.1} \\ \hline \end{array} \end{align*}

循環節の桁数は10進法では $10^n - 1$ の $n$ 桁の連続 $9$ の並びの素因数が重要になっていました。他の基数の位取り法では $\mbox{基数}^n - 1$ のように基数から $1$ を引いた数値の連続の並びが重要になります。 2進法では $2^n - 1$ の2進表現の $1$ の並び、3進法では $3^n - 1$ の3進表現の $2$ の並びが重要だというわけです。

以下、2進数の場合の連続 $1$ の並びの素因数分解です。この表から、10進数で分母が $3$ の時は2進数小数の循環節が $2$ 桁になること、10進数で分母が $5$ の時は2進小数の循環節が $4$ 桁、10進数で分母が $7$ の時は2進小数の循環節が $3$ 桁になること、等々が分かります。

\begin{align*} \begin{array}{r|rl|rl} \hline \mbox{桁数}, n & 2^n-1 &\mbox{素因数分解} & \mbox{連続 $1$ （2進表記）}10^n-1 & \mbox{素因数分解（2進表記）} \\ \hline 1 & 1= & 1 & 1= & 1 \\ \hline 2 & 3= & \color{blue}{3} & 11= & \color{blue}{11} \\ \hline 3 & 7= & \color{blue}{7} & 111= & \color{blue}{111} \\ \hline 4 & 15= & 3\cdot\color{blue}{5} & 1111= & 11\cdot \color{blue}{101} \\ \hline 5 & 31= & \color{blue}{31} & 11111= & \color{blue}{1111} \\ \hline 6 & 63= & 3^2\cdot 7 & 111111= & 11^{10}\cdot 111 \\ \hline 7 & 127= & \color{blue}{127} & 1111111= & \color{blue}{1111111} \\ \hline 8 & 255= & 3\cdot 5\cdot \color{blue}{17} & 11111111= & 11\cdot 101\cdot \color{blue}{10001} \\ \hline 9 & 511= & 7\cdot \color{blue}{73} & 111111111= & 111\cdot \color{blue}{1001001} \\ \hline 10 & 1023= & 3\cdot \color{blue}{11}\cdot 31 & 1111111111= & 11\cdot \color{blue}{1011}\cdot 11111 \\ \hline \end{array} \end{align*}

\begin{align*} \begin{array}{r|rl|rl} \hline \mbox{桁数}, n & 3^n-1 &\mbox{素因数分解} & \mbox{連続 $2$ （3進表記）}10^n-1 & \mbox{素因数分解（3進表記）} \\ \hline 1 & 2= & \color{blue}{2} & 2= &\color{blue}{2} \\ \hline 2 & 8= & 2^3 & 22= & 2^{10} \\ \hline 3 & 26= & 2\cdot \color{blue}{13} & 222= & 2\cdot \color{blue}{111} \\ \hline 4 & 80= & 2^4\cdot \color{blue}{5} & 2222= & 2^{11}\cdot \color{blue}{12} \\ \hline 5 & 242= & 2\cdot \color{blue}{11}^2 & 22222= & 2\cdot \color{blue}{102}^2 \\ \hline 6 & 728= & 2^3\cdot \color{blue}{7}\cdot 13 & 222222= & 2^{10}\cdot \color{blue}{21}\cdot \color{blue}{111} \\ \hline 7 & 2186= & 2\cdot \color{blue}{1093} & 2222222= & 2\cdot \color{blue}{1111111} \\ \hline 8 & 6560= & 2^5\cdot 5\cdot \color{blue}{41} & 22222222= & 2^{12}\cdot 12\cdot \color{blue}{1112} \\ \hline 9 & 19682= & 2\cdot 13\cdot \color{blue}{757} & 222222222= & 2\cdot 111\cdot \color{blue}{1001001} \\ \hline 10 & 59048= & 2^3\cdot 11^2\cdot \color{blue}{61} & 2222222222= & 2^{10}\cdot 102^2\cdot \color{blue}{2021} \\ \hline \end{array} \end{align*}

最後に

目次へ↑

小学校では足し算、引き算、掛け算の筆算を習得して最後のラスボスのように割り算の筆算が登場します。殆どの人は機械的に「立てる・掛ける・引く・降ろす」のような計算のやり方だけを習います。そして「よく分からんけど計算はできるようになった」という状態で留まっているのではないかと思われます。割り算は「何回引けるか？をやってるだけだ」と分かればそれほど難しくなくなります。計算した後、$a = qb + r$ の右辺の検算さえしっかりやっておけば大丈夫です。

学校教育では分数よりも小数の方を先に教わりますが、これは小数の計算の方が分数の計算に比べて簡単だからです。歴史的には分数や60進法小数の方が先に使われていたのですが、難し過ぎて当時の一般人にはとても扱えない代物でした。割り算ができるだけで、かなりの高給取りのエリートになれたそうです。今の10進法の小数が発明されたのは、文明・文化史としてはかなり最近のことで 1585年のシモン・ステヴィンの著書『De Thiende』によるものです。小数の発明によって、一般人でも少し勉強すれば難しい計算が簡単に実行できるようにななりました。小数の発明は17世紀の科学革命にもかなり貢献しています。

今は電卓やコンピュータがありますので、手計算の必要性はかなり低くなっています。しかし、「電卓で計算した値にどれくらいの意味があるのか？」ということも重要です。正確な計算よりも、「数とは何か？」「数の仕組み」「有理数と無理数」等を知るために循環小数の計算は重要になっています。無限という恐ろしい概念に、初めて具体的に取り組むことになるのが循環小数だという人も少なくないと思います。ここではやってませんが循環小数には「ダイヤル数」等、他にも面白い不思議な性質がたくさんあります。また、割り算ができれば誰でも取り組めて、今でも様々な新しい発見がある分野でもあります。やさしく読めるような本もありますので、是非ともここで学んだことを元にチャレンジして楽しんでみてください。

割り算 有限小数 循環小数

例1

例2

例3

例1

例2

例3

例4

例1

例2

割り算有限小数循環小数