ネイピア数 自然対数の底
ここではネイピア数について、いったいどのような数なのかを説明します。
この数にまつわる考え方や歴史を知ることで、極限や微積分、実数や関数の連続性、の理解が深まります。
ネイピア数（Nepier's constant） とは数学で現れる重要な無理数の定数のことです。
文字記号 $e$ を用いてネイピア数を表します。
ネイピア数の別名に、自然対数の底（base of natural logarithm） 、万有率 、があります。
ネイピア数 $e$ にはいくつかの定義があるのですが、一番有名な定義は次の式になります。
\begin{align*}
e = \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n
\end{align*}
右辺の整数 $n$ をどんどん大きくしていって、無限大の極限を取ったものが $e$ の値に収束します。
ちなみに次のように定義を変えたものはネイピア数 $e$ の逆数、$e^{-1}=\frac{1}{e}$ の値に収束します。
\begin{align*}
e^{-1} = \lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^n
\end{align*}
$n$ が小さい場合は手計算でも簡単に計算できるので、$n=10$ くらいまでの様子を見てみましょう。
$n=1$
\begin{align*}
\left(1+\frac{1}{1}\right)^1 = 2^1 = 2.000000000000000
\end{align*}
ネイピア数の逆数の方も、$n=10$ くらいまでの様子を見てみましょう。
$n=1$
\begin{align*}
\left(1-\frac{1}{1}\right)^1 = 0^1 = 0.0000000000000000
\end{align*}
この調子で $n$ をどんどん大きくしていけばよいのですが、手計算では限界がありますので、プログラムの力を借りることにします。
次の $n=$ の右枠内の数値を変更し大きくしていき、枠内の数値がどのような値になるのか観察してみましょう。
上位の桁から順に値が収束していく様子が伺えるのではないでしょうか？
($n$ をあまりにも大きくし過ぎると、数値計算の精度が悪くなっていくので注意してください。100000 の辺りから単調増加しなくなって、微妙な振動が出てきます。）
$n=$
$\displaystyle\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=$ 2.000000000000000
0.0000000000000000
以下は、無理数の定数である円周率 $\pi$ と、ネイピア数 $e$ と、その逆数 $e^{-1}$ の値を、小数第20位まで表示したものです。
無理数なので循環パターンがない無限小数になります。
\begin{align*}
\pi &= 3. 1415926535\, 8979323846\, 2643383279\, 5028841971\, \ldots \\
e &= 2. 7182818284\, 5904523536\, 0287471352\, 6624977572\, \ldots \\
e^{-1} &= 0. 3678794411\, 7144232159\, 5523770161\, 4608674458\, \ldots \\
\end{align*}
ネイピア数の定義式を見ると、$n$ が有限では有理数なのに、$n\to\infty$ の極限で無理数になるので不思議な感じがするのではないでしょうか？
円周率が重要なのはなんとなくわかると思いますが、ネイピア数がなぜ重要なのか知らない人の方が多いと思います。
万有率の名の通りあらゆる重要な場面にネイピア数が出てくるのですが、特に微分積分の単元ではネイピア数を使わないと計算の表記がとんでもなく複雑になります。
ネイピア数にまつわるエピソードはたくさんあるので、この解説でいくつか紹介していきます。
まずはネイピア数の発見の経緯からたどっていくことにしましょう。
ネイピア は対数 の発明者です。
対数については（こちら） で詳しく説明してますので機会があれば見ておいてください。
1594年に対数の概念を発見し、以後20年をかけて対数表を作成し、1614年に『Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio （素晴らしい対数表の使い方）』というラテン語の論文を発表しました。
当時はステヴィン によって、1585年に『De Thiende（十分の一法）』というオランダ語で書かれた小数の理論が発表されて間もないころで、小数の表記法すら定まっていませんでした。
ネイピアの対数表によって、小数点 による数の表記法が広まって行きました。
ネイピアのアイデア
現在では指数法則を習ってから対数を習うのですが、発見の順番は逆になります。
ネイピアの時代には指数法則は知られていませんでした。
そのためネイピアの論文では複雑な方法で対数を構成し、構成した対数には指数法則に相当する法則が成り立つことが示されました。
ネイピアの対数の構成法をそのまま実行すると話が難しくなりすぎてしまいますので、ここでは使用する数値を簡単にして、ネイピアの対数の性質を観察することから始めていきます。
次の式の数 $M$ と $p$ の対応関係をみてみましょう。
\begin{align*}
M = 100\times\left(1 - \frac{1}{2}\right)^p = 100\times\left(\frac{5}{10}\right)^p
\end{align*}
$p$ の値を変えてみて、$M$ の値がどうなるのか調べてみましょう。
$p=1$
\begin{align*}
M = 100\times\frac{5}{10} = 50
\end{align*}
\begin{alignat*}{2}
25\times 12 &\rightarrow 2 + 3 &&\qquad\fbox{真数 $M$ の掛け算を、対応する対数 $p$ の足し算に置き換えた} \\
&= 5 &&\qquad\fbox{足し算を実行した} \\
&\rightarrow 3\times 100 &&\qquad\fbox{表の対数 $p=5$ に対応する真数 $M=3$ の $100$ 倍に置き換える} \\
&= 300 &&\qquad\fbox{$25\times 12$ の答えになっている} \\
\end{alignat*}
この計算が上手くいく理由は指数法則にあります。
次のように記号を設定して、掛け算を実行してみましょう。
\begin{alignat*}{2}
M &= 100\times\left(\frac{5}{10}\right)^p &&\qquad\fbox{1つ目の数 $M$ と $p$ の対応の設定} \\
N &= 100\times\left(\frac{5}{10}\right)^q &&\qquad\fbox{2つ目の数 $N$ と $q$ の対応の設定} \\
M\times N &= 100\times\left(\frac{5}{10}\right)^p\times 100\times\left(\frac{5}{10}\right)^q &&\qquad\fbox{真数 $M$ と $N$ の掛け算を実行} \\
&= 100\times\left(\frac{5}{10}\right)^p\times\left(\frac{5}{10}\right)^q \times 100&&\qquad\fbox{掛け算の順番を変えた} \\
&= 100\times\left(\frac{5}{10}\right)^{p+q} \times 100&&\qquad\fbox{指数法則 $s^ps^q=s^{p+q}$ を使った} \\
&= \left\{100\times\left(\frac{5}{10}\right)^{p+q}\right\} \times 100&&\qquad\fbox{対数の足し算 $p+q$ の値に対応する真数の値を、表から見つけて、それに $100$ を掛けたものが、真数の掛け算 $M\times N$ の答え} \\
\end{alignat*}
計算原理はこれで全てなのですが、ここでの設定では対応する数が5個しかありません。
もう少し違う設定を使うことで、使える数を増やしていくことができます。
対応できる数を増やす
先ほどの例の設定の $-\frac{1}{2}$ を $-\frac{1}{10}$ に変えて、次のように設定します。
\begin{align*}
M = 100\times\left(1 - \frac{1}{10}\right)^p = 100\times\left(\frac{9}{10}\right)^p
\end{align*}
$p$ の値を変えてみて、$M$ の値がどうなるのか調べていきます。
$M$ の整数部分がどうなるかが重要なので、下枠の計算程細かくやる必要はないのですが、現代はパソコンがあるので簡単にできてしまいます。
$p=1$
\begin{align*}
M = 100\times\frac{9}{10} = 90
\end{align*}
\begin{alignat*}{2}
47\times 25 &\rightarrow 7 + 13 &&\qquad\fbox{真数 $M$ の掛け算を、対応する対数 $p$ の足し算に置き換えた} \\
&= 20 &&\qquad\fbox{足し算を実行した} \\
&\rightarrow 12\times 100 &&\qquad\fbox{表の対数 $p=20$ に対応する真数 $M=12$ の $100$ 倍に置き換える} \\
&= 1200 &&\qquad\fbox{$47\times 25=1175$ の答えにほぼ等しい値になってる} \\
\end{alignat*}
完全に等しいわけではありませんが、かなり良い近似値が得られました。
精度を上げるためには、$M$ の設定で $100$ を掛けてる部分を、もっと大きな $1000$ や $10000$ にする必要があります。
この部分は現代の浮動小数点数 の指数部に対応します。
また、$M$ の設定で $-\frac{1}{10}$ の引き算の部分をもっと小さな $-\frac{1}{100}$ や $-\frac{1}{1000}$ にすると、対応できる数字の細かさをより密にすることができます。
精度については有効数字 の話も参考にしてください。
ネイピアの対数表
ネイピアが1614年に発表した論文『Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio』は（こちら） の PDF で見ることができます。PDFの73ページ目からが対数表です。
またPDFの72ページ目までの対数表に関する説明については、詳しい解説本 があるので、更に深い話を知りたい人の参考になります。
ネイピアは精度のよい対数表を作るために、次の $M$ と $p$ の対応を用いた対数表を、手計算で20年かけて完成させました。
\begin{align*}
M = 10^7\times\left(1 - \frac{1}{10^7}\right)^p = 10000000\times\left(\frac{9999999}{10000000}\right)^p
\end{align*}
このような設定を採用した一番の理由は、当時出回っていた三角関数表の精度が7桁だったからです。
当時は小数がなかったので、$10^7$ を掛けた $7$ 桁の整数の値で三角関数表が書かれていました。
この設定によって、対数表の精度は上がりますが、表の完成にはかなりの時間がかかってしまいました。
しかし、対数表は一旦出来上がってしまえばこっちのものです。
対数表を用いることによって、三角関数の掛け算や割り算を対数を利用して、足し算や引き算で簡単に実行できるようになりました。
ネイピアは天文学者の計算の労力を楽にするために対数表を作成したのですが、大航海時代を迎えた当時、岸を離れての航海に必要な、天体観測を利用して自船の位置を知る「天測航法」という技術が発展していました。
この天測航法を実施する為に、天文学者だけでなく、航海士にも三角関数を使った大量の計算が必要だったのです。
それでは例として、ネイピアの対数表を用いて、次の三角関数の倍角公式を確かめてみましょう。
\begin{align*}
\sin(40^{\circ})&=2\sin(20^{\circ})\cos(20^{\circ})=2\sin(20^{\circ})\sin(90^{\circ}-20^{\circ}) \\
&=2\sin(20^{\circ})\sin(70^{\circ})
\end{align*}
$\sin(20^{\circ})$ と $\sin(70^{\circ})$ を7桁の精度で調べます。
\begin{align*}
\sin(20^{\circ}) &\fallingdotseq 0.3420201 \\
\sin(70^{\circ}) &\fallingdotseq 0.9396926
\end{align*}
$3420201\times 9396926$ を計算するためにネイピアの対数表から次の部分を抜き出しておきます。
Sinus は三角比の正弦を意味するラテン語です。
Logarithmi はネイピアの造語で、ギリシア語 の logos （計算、比、の意味）と arithmaos（数の意味）から作ったものです。
Sinus Logarithmi PDFページ番号 3420201 10728852 113ページ 9396926 622025 113ページ 3211640 11358030 110ページ 3214395 11349456 110ページ
真数（表の Sins）の掛け算を、対数（表の Logarithmi）の足し算で実行します。
\begin{alignat*}{2}
3420201\times 9396926 &\rightarrow 10728852 + 622025 &&\qquad\fbox{Sins の掛け算を、対応する Logarithmi の足し算に置き換えた} \\
&= 11350877 &&\qquad\fbox{足し算を実行した} \\
&\rightarrow 3214395 \times 10000000 &&\qquad\fbox{表のLogarithmiの値が $11350877$ に一番近い $11349456$ の Sinus $3214395$ の $1000000$ 倍が $1736482\times 9848078$ の近似値} \\
&= 32143950000000 &&\qquad\fbox{$3420201\times 9396926=32139375702126$ の答えにほぼ等しい値になってる} \\
\end{alignat*}
この結果から次のことが分かります。
\begin{alignat*}{2}
2\sin(20^{\circ})\sin(70^{\circ}) &\fallingdotseq 2\times 0.3420201\times 0.9396926 &&\qquad\fbox{7桁精度の近似値} \\
&= 2\times \frac{3420201}{10000000}\times\frac{9396926}{10000000} \\
&= 2\times \frac{3420201\times 9396926}{10000000\times 10000000} \\
&\fallingdotseq 2\times \frac{32143950000000}{100000000000000} &&\qquad\fbox{分子の掛け算の近似値をネイピアの対数表を用いて調べた} \\
&= 2\times 0.3214395 \\
&= 0.6428790 &&\qquad\fbox{2倍は同じ数の足し算で簡単に実行できる}
\end{alignat*}
7桁精度の $\sin(40^{\circ})$ を調べて比較してみましょう。
\begin{align*}
\sin(40^{\circ}) &\fallingdotseq 0.6427876
\end{align*}
ネイピアの対数表を使った計算は、かなり良い近似値になっています。
小数点の初出典
小数点の初出典についてはこちらの解説本 に詳細があります。
1614年のラテン語で書かれたネイピアの原著論文には小数点は使われていませんでした。
この論文の英訳が、エドワード・ライト によって1616年に『A Description of the Admirable Table of Logarithmes』のタイトルで出版されました。
この英訳本に小数点が初めて使用されたとのことです。
ネイピアはこの英訳本を通して小数記法の有用性に気付いたのではないかと考えられます。
ネイピアが小数点の発明者だという訳ではないのですが、ネイピアの対数表が小数点の表記を世界に広めたと言っても過言ではありません。
ネイピアの没年の1617年に『Rabdrogiæ』という本が出版されました。
この本はネイピアが発明した、掛け算、割り算、開平計算、のための「計算棒（ネイピアの骨 ）」の解説本で、こちらの PDF で原文を見ることができます。
このPDFの20ページにある説明を見てください。
円周率 $3.1415$ のステヴィン流の小数の書き方は、${\unicode{x24ea}\atop{3}}{\unicode{x2460}\atop{1}}{\unicode{x2461}\atop{4}}{\unicode{x2462}\atop{1}}{\unicode{x2463}\atop{5}}$ のように、数字の上に小数位数を「丸囲み数字」で付けて表します。
ネイピアはそれに習って、$3,1'4''1'''5''''$ のように、小数点に対応するコンマ「$,$」と、小数位数をプライム「$'$」の数で表しています。
この時点では、現代的な小数点表記の一歩手前のような感じです。
ネイピアの死の2年後、ネイピアの息子が1619年に父の遺稿『Mirifici logarithmorum canonis constructio』を発表しました。
その論文は（こちら） の PDF で見ることができます。
これはネイピアが長年考えてきた様々なアイデアをまとめたもので、分かりにくかった1614年の論文の解説に相当するものも含まれています。
この PDF の15ページ目にある原文の、5番目の項目に、帯分数 $10000000\frac{4}{100}$ を $10000000.04$ と表記する記述があります。
ネイピアの論文の発表の翌年の1615年、対数表の有用性を見抜いたブリッグス が、ネイピアを訪ねて、対数について議論し、現在では常用対数表 と呼ばれているものが作られました。
底を $10$ にした対数によって分かりやすく使いやすいものになり、多くの人に常用対数表が受け入れられていきました。
対数の発明によって膨大な桁の掛け算・割り算があっという間に実行できますので、対数の発明は現代のコンピュータの発明に匹敵します。
仮に対数の発明がなかったとすれば、恐らくコンピュータ自体も発明されなかったであろうと思われます。
常用対数が便利過ぎたので常用対数表の方が有名になり、ネイピアの対数表は実用的にはあまり使われませんでした。
しかし、ネイピア数に相当するものが連続福利の計算から得られます。
元本 $a$ 円の借金に、年率 100% の利息がかかるとして、その年率を、半年率、月率、日率、とどんどん細かくして掛けたとすると、どうなるのか？
\begin{alignat*}{4}
&a\left(1+1\right) &&= 2 a &&\qquad\fbox{1年で100%の利息を1回かけると、借金は2倍になる} \\
&a\left(1+\frac{1}{2}\right)^2 &&= 2.25 a &&\qquad\fbox{半年で50%（1/2）の利息を1年で2回かけると、借金は2.25倍になる} \\
&a\left(1+\frac{1}{4}\right)^4 &&= 2.44140625 a &&\qquad\fbox{四半期で25%（1/4）の利息を1年で4回かけると、借金は2.44140625倍になる} \\
&a\left(1+\frac{1}{12}\right)^{12} &&\fallingdotseq 2.613035290224678 a &&\qquad\fbox{1カ月で1/12の利息を1年で12回かけると、借金は約2.613035290224678倍になる} \\
&a\left(1+\frac{1}{365}\right)^{365} &&\fallingdotseq 2.714567482021875 a &&\qquad\fbox{1日で1/365の利息を1年で365回かけると、借金は約2.714567482021875倍になる} \\
\end{alignat*}
この計算を初めて示したのがヤコブ・ベルヌーイ です。
利率 $1/n$ をどんどん細かくして掛ける回数 $n$ を大きし、$n\to \infty$ の極限で、借金は $e$ 倍になることが示されました。
その後、ネイピア数に関して、特に重大な貢献をした人物がオイラー になります。
オイラーは若いころ、ヤコブ・ベルヌーイの弟のヨハン・ベルヌーイ の師事を受けていました。
オイラーは膨大な数の論文を発表した史上最も有名な数学者の一人で、後世に与えた影響力は計り知れません。
ネイピア数 $e$ や、円周率 $\pi$ の記号は、オイラーが使用した影響で、皆が真似することになり、現在でもそのまま使われています。
また（こちら） のオイラーの等式は世界一美しいと言われています。
（こちら） で関数について説明しましたが、この関数という概念を現代風に作り上げたのもオイラーの功績です。
オイラーは1748年に『無限解析序説』、1755年に『微分計算教程』、1770年に『積分計算教程』というオイラー三部作と呼ばれる本を書き上げ、現代では『解析学』と呼ばれる数学分野の基礎を築きました。
三部作の最初の『無限解析序説』でネイピア数 $e$ の導入が行われ、これを元に微分積分学を現代的な解析学に発展させたのです。
オイラーの導入した $e$ についての定義は後の節で説明します。
ネイピアの対数表に、ネイピア数が埋もれていることを見てみましょう。
ネイピアの対数表の真数 $M$ と 対数 $p$ の関係を次のように変形していきます。
\begin{alignat*}{2}
M &= 10^7\left(1 - \frac{1}{10^7}\right)^p &&\qquad\fbox{$M$ と $p$ の関係式を再掲} \\
\frac{M}{10^7} &= \left(1 - \frac{1}{10^7}\right)^p &&\qquad\fbox{両辺に $\frac{1}{10^7}$ を掛けた} \\
\frac{M}{10^7} &= \left(1 - \frac{1}{10^7}\right)^{10^7\frac{p}{10^7}} &&\qquad\fbox{$1=\frac{10^7}{10^7}$ を $p$ の前に積で挿入} \\
\frac{M}{10^7} &= \left\{\left(1 - \frac{1}{10^7}\right)^{10^7}\right\}^{\frac{p}{10^7}} &&\qquad\fbox{指数法則 $s^{xy}=(s^x)^y$ を使った} \\
\tilde{M} &= \tilde{e}^{\tilde{p}} &&\qquad\fbox{$\tilde{M}=\frac{M}{10^7}$, $\tilde{p}=\frac{p}{10^7}$, $\tilde{e}=\left(1-\frac{1}{10^7}\right)^{10^7}$ の文字で置き換えた} \\
\end{alignat*}
最後の等式を、（こちら） で説明した現代的な対数の記号を使って、書き直してみましょう。
\begin{alignat*}{2}
\tilde{M} &= \tilde{e}^{\tilde{p}} &&\qquad\fbox{指数で表記した等式} \\
\tilde{p} &= \log_{\tilde{e}} \tilde{M} &&\qquad\fbox{対数で表記した等式} \\
\end{alignat*}
つまり、ネイピアの対数は、$\tilde{e}$ が底の対数を扱っていたことに相当します。
ネイピアの対数で $10^7$ の部分は小数の表記を避けて、$7$ 桁の整数で数表を作成するために導入されたものでした。
つまり、対数表の最大精度を $7$ 桁にするための設定でした。
更に精度を上げていくことを考えたとしまして、$10^7$ の部分を $n$ で表し、$n$ をどんどん大きくしていき、無限大の極限を取ってみましょう。
\begin{align*}
\tilde{e} &= \left(1-\frac{1}{10^7}\right)^{10^7} \xrightarrow[10^7 \to n]{} \left(1-\frac{1}{n}\right)^{n} \xrightarrow[n \to\infty]{} e^{-1}
\end{align*}
無限の精度の極限を取ると、ネイピアの対数の底 $\tilde{e}$ は、ネイピア数の逆数 $e^{-1}$ に相当するものであったことが分かります。
ネイピアの対数表での底の値は $\tilde{e}\fallingdotseq 0.3678794$ のように $1$ より小さな値なので、真数 $\tilde{M}$ が大きくなると対数 $\tilde{p}$ は小さくなります。
こような $\tilde{M}$ と $\tilde{p}$ の大きさの関係も、ネイピアの対数表分かりにくくした一因になっていると考えられます。
ネイピア数は小数点以下無限に続く数なのですが、何か定まった値（大きさ）を持っています。
有理数も小数点以下無限に続く循環小数という形式で表現することができるのですが、何か定まった値を持っています。
循環小数については（こちら） で解説しています。
無限に続く小数が、何か定まった値を持つのかどうか、という議論には、数列の収束という考え方が役に立ちます。
ネイピア数の定義で $n\to \infty$ の極限をとる前の形を $a_n$ として、$n=1,2,3,4,\cdots$ の数列 $\{a_1, a_2, a_3, a_4, \cdots \}$ を考えていきましょう。
\begin{align*}
a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n
\end{align*}
$n$ を一つずつ大きくしていって、この数列がどのような振る舞いをするのか調べてみましょう。
\begin{align*}
a_1&=\left(1+\frac{1}{1}\right)^1\\ &=1+1\\
a_2&=\left(1+\frac{1}{2}\right)^2=1+2\cdot\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^2 = 1+1+\frac{1}{2^2}\\ &= 1+1+\frac{1}{4}\\
a_3&=\left(1+\frac{1}{3}\right)^3=1+3\cdot\frac{1}{3}+3\left(\frac{1}{3}\right)^2+\left(\frac{1}{3}\right)^3 = 1+1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}\\ &= 1+1+\frac{10}{27}\\
a_4&=\left(1+\frac{1}{4}\right)^4=1+4\cdot\frac{1}{4}+6\left(\frac{1}{4}\right)^2+4\left(\frac{1}{4}\right)^3+\left(\frac{1}{4}\right)^4 = 1+1+\frac{6}{4^2}+\frac{4}{4^3}+\frac{1}{4^4}\\ &= 1+1+\frac{113}{256} \\
a_5&=\left(1+\frac{1}{5}\right)^5=1+5\cdot\frac{1}{5}+10\left(\frac{1}{5}\right)^2+10\left(\frac{1}{5}\right)^4+5\left(\frac{1}{5}\right)^4+\left(\frac{1}{5}\right)^5 = 1+1+\frac{10}{5^2}+\frac{10}{5^3}+\frac{5}{5^4}+\frac{1}{5^5}\\ &= 1+1+\frac{1526}{3125}
\end{align*}
ここで、次の関係があることが確かめられます。
\begin{align*}
0\lt \frac{1}{4}\lt \frac{10}{27}\lt \frac{113}{256}\lt \frac{1526}{3125}\lt 1
\end{align*}
\begin{align*}
2=a_1\lt a_2\lt a_3\lt a_4\lt a_5\lt 3
\end{align*}
実は、数列 $a_n$ は $a_1=2$ から始まって $n=2,3,\cdots$ と大きくしていくと、常に大きくなっていく、（狭義）単調増加 という性質があることが証明できます。
\begin{align*}
a_n\lt a_{n+1}
\end{align*}
更に $a_n$ には上限があって、$3$ を超えることがないことが証明できます。
\begin{align*}
a_n\lt 3
\end{align*}
このような絶対に超えない上限があることを「上に有界」といいます。
数列の理論には単調収束定理 という定理がありまして、このような数列は必ず収束することが証明されています。
数列 $a_n$ は $n$ を大きくしていくと、2 から単調増加でどんどん大きくなっていきますが、$n\to\infty$ の極限で、3 を超えないどこかのある値に必ず収束する 、という性質持つことになります。
\begin{align*}
2=a_1\lt a_2\lt a_3\lt a_4\lt a_5\lt \cdots \lt a_{\infty} \lt 3
\end{align*}
このあたりの話は、実数をどのようにして数に組み込むのか、という大学数学の難しい話になるのですが、理解すると面白い話なので、興味のある人は数列の収束について勉強してみてください。
数列 $a_n$ の性質の一般的な証明には二項定理というものを使います。
階乗や二項定理については（こちら） の講義資料を参考にしてください。
\begin{align*}
\left(a+b\right)^n=\sum_{k=0}^n {}_nC_k a^{n-k}b^k
\end{align*}
${}_nC_k$ は、階乗 $n!=n(n-1)(n-2)\cdots 3\cdot 2\cdot 1$ を使って次のように書かれる二項係数
\begin{align*}
{}_nC_k = \frac{n!}{k!(n-k)!}
\end{align*}
これを用いた一般的な証明を以下の枠内に示します。
\begin{align*}
a_n &= {}_nC_0 \left(\frac{1}{n}\right)^0 + {}_nC_1 \left(\frac{1}{n}\right)^1 + {}_nC_2 \left(\frac{1}{n}\right)^2 + {}_nC_3 \left(\frac{1}{n}\right)^3 + \cdots + {}_nC_{n-1} \left(\frac{1}{n}\right)^{n-1} + {}_nC_n \left(\frac{1}{n}\right)^n \\
&= {}_nC_0 \left(\frac{1}{n}\right)^0 + {}_nC_1 \left(\frac{1}{n}\right)^1 + \sum_{k=2}^n {}_nC_k \left(\frac{1}{n}\right)^k
\end{align*}
ネイピア数は微分や積分に現れる、非常に有用な定数になります。
微分や積分では、連続関数というものが現れてきます。
これまで、数列 $a_n$ では $n$ として、飛び飛びの値の自然数を用いてきました。
$n$ を変数として考えて、連続的な値をもつ実数変数 $x$ に拡張するようなことを考えていきます。
まずは、最初の定義の $n$ を実数 $x$ に拡張します。
\begin{align*}
\lim_{n\to \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n = e \qquad\Longrightarrow\qquad \lim_{x\to \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x = e
\end{align*}
自然数 $n$ を実数 $x$ に変えても、無限大の極限では同じ値の $e$ に収束するということです。
以下が証明です。
$0\lt n\le x\lt n+1$ の範囲に入る実数 $x$ について考えます。
正の数の逆数を取ると大小関係が逆になるので、次の関係が得られます。
\begin{align*}
\frac{1}{n+1}\lt\frac{1}{x}\le\frac{1}{n}
\end{align*}
辺々に1を加えても大小関係は変わらないので、次のようになります。
\begin{align*}
1+\frac{1}{n+1}\lt 1+\frac{1}{x}\le 1+\frac{1}{n}
\end{align*}