分位数 パーセンタイル

QUARTILE(配列,戻り値)

---

配列：「データセット」の配列を入力
戻り値：「0」を入力：第0四分位数が戻ってくる
戻り値：「1」を入力：第1四分位数が戻ってくる
戻り値：「2」を入力：第2四分位数が戻ってくる
戻り値：「3」を入力：第3四分位数が戻ってくる
戻り値：「4」を入力：第4四分位数が戻ってくる

PERCENTILE(配列,率)

---

配列：「データセット」の配列を入力
率：相対順位「$p$」を入力

PERCENTRANK(配列,x,[有効桁数])

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配列：「データセット」の配列を入力
x：相対順位を知りたい「数値」を入力
[有効桁数]：省略可能、小数点以下何桁まで計算するかを入力

1. 大きさ順に並べ替えた $n$ 個のデータ $x_i,\, i=1,2,\ldots, n$ を用意する。 \begin{align*} x_1\lt x_2\lt \cdots \lt x_n \end{align*}
2. 順位 $R$ を、相対順位 $p$ を使って次のように定義する。 \begin{align*} R=1+\left(n-1\right)p \end{align*} $p$ の範囲は、$0\le p\le 1$ になります。 この範囲のことを相対順位範囲といいます。
3. $R$ の整数部分を $r$ 、小数部分を $s$ とする。
4. $p$ での、分位数（パーセンタイル）$X$ は次のようになる。 \begin{align*} X=x_r+s\left(x_{r+1}-x_{r}\right) \end{align*} この式は変形すると次のようになるので、$x_{r}$ と $x_{r+1}$ の間を $s:(1-s)$ の比に内分する値であることが分かります。 \begin{align*} X=(1-s)x_r+sx_{r+1} \end{align*}

$n=10$, $x_1=3$, $x_2=5$, $x_3=8$, $x_4=10$, $x_5=12$, $x_6=12$, $x_7=15$, $x_8=17$, $x_9=19$, $x_{10}=20$ です。

$p=0.25$ の時の $X$ を求めます。

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相対順位 25% の順位 $R$ を求めます。（下記図解：手順１、手順２） \begin{align*} R=1+\left(10-1\right)\frac{25}{100}=1+9\times\frac{25}{100}=1+2.25=3.25 \end{align*}

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$R$ の整数部分 $r$ 、小数部分 $s$ は次のようになります。（下記図解：手順３） \begin{align*} r &=3 \\ s &=0.25 \end{align*}

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第3位と第4位のデータを $0.25$ で内分する点が25パーセンタイル $X$ になります。（下記図解：手順４） \begin{align*} X=x_3+0.25\left(x_4-x_3\right) = 8 + 0.25\left(10-8\right) = 8 + 0.25\times 2 = 8 + 0.5 = 8.5 \end{align*}

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以下、上記計算の図解になります。

$p=0.75$ の時の $X$ を求めます。

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相対順位 75% の順位 $R$ を求めます。（下記図解：手順１、手順２） \begin{align*} R=1+\left(10-1\right)\frac{75}{100}=1+9\times\frac{75}{100}=1+6.75=6.75 \end{align*}

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$R$ の整数部分 $r$ 、小数部分 $s$ は次のようになります。（下記図解：手順３） \begin{align*} r &=6 \\ s &=0.75 \end{align*}

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第6位と第7位のデータを $0.75$ で内分する点が75パーセンタイル $X$ になります。（下記図解：手順４） \begin{align*} X=x_6+0.75\left(x_7-x_6\right) = 15 + 0.75\left(17-15\right) = 15 + 0.75\times 2 = 15 + 1.5 = 16.5 \end{align*}

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以下、上記計算の図解になります。

1. 大きさ順に並べ替えた $n$ 個のデータ $x_i,\, i=1,2,\ldots, n$ を用意する。 \begin{align*} x_1\le x_2\le \cdots \le x_n \end{align*}
2. 順位 $R$ を、相対順位 $p$ を使って次のように定義する。 \begin{align*} R=\left(n+1\right)p \end{align*} $p$ の範囲は、$0\lt p\lt 1$ になります。 この範囲である相対順位範囲に $0$ と $1$ は含まれません。
3. $R$ の整数部分を $r$ 、小数部分を $s$ とする。
4. 相対順位 $p$ での分位数（パーセンタイル）$X$ は次のようになる。 \begin{align*} X=x_r+s\left(x_{r+1}-x_{r}\right) \end{align*} この式は変形すると次のようになるので、$x_{r}$ と $x_{r+1}$ の間を $s:(1-s)$ の比に内分する値であることが分かります。 \begin{align*} X=(1-s)x_r+sx_{r+1} \end{align*}

$n=10$, $x_1=3$, $x_2=5$, $x_3=8$, $x_4=10$, $x_5=12$, $x_6=12$, $x_7=15$, $x_8=17$, $x_9=19$, $x_{10}=20$ です。

$p=0.25$ の時の $X$ を求めます。

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相対順位 25% の順位 $R$ を求めます。（下記図解：手順１、手順２） \begin{align*} R=\left(10+1\right)\frac{25}{100}=11\times\frac{25}{100}=2.75 \end{align*}

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$R$ の整数部分 $r$ 、小数部分 $s$ は次のようになります。（下記図解：手順３） \begin{align*} r &=2 \\ s &=0.75 \end{align*}

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第2位と第3位のデータを $0.75$ で内分する点が25パーセンタイル $X$ になります。（下記図解：手順４） \begin{align*} X=x_2+0.75\left(x_3-x_2\right) = 5 + 0.75\left(8-5\right) = 5 + 0.75\times 3 = 5 + 2.25 = 7.25 \end{align*}

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以下、上記計算の図解になります。

$p=0.75$ の時の $X$ を求めます。

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相対順位 75% の順位 $R$ を求めます。（下記図解：手順１、手順２） \begin{align*} R=\left(10+1\right)\frac{75}{100}=11\times\frac{75}{100}=8.25 \end{align*}

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$R$ の整数部分 $r$ 、小数部分 $s$ は次のようになります。（下記図解：手順３） \begin{align*} r &=8 \\ s &=0.25 \end{align*}

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第8位と第9位のデータを $0.25$ で内分する点が75パーセンタイル $X$ になります。（下記図解：手順４） \begin{align*} X=x_8+0.25\left(x_9-x_8\right) = 17 + 0.25\left(19-17\right) = 17 + 0.25\times 2 = 17 + 0.5 = 17.5 \end{align*}

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以下、上記計算の図解になります。

相対順位 $p=\frac{1}{2}$ での順位 $R$ は次のようになる。 \begin{align*} R=1+\left(n-1\right)\frac{1}{2}=\frac{n+1}{2} \end{align*}

相対順位 $p=\frac{1}{2}$ での順位 $R$ は次のようになる。 \begin{align*} R=\left(n+1\right)\frac{1}{2}=\frac{n+1}{2} \end{align*}

データ数 $n$ が偶数の時は、$R$ の整数部分 $r$ 、小数部分 $s$ は \begin{align*} r &=\frac{n}{2} \\ s &=0.5 \end{align*} となるので、中央値 $X$ は次のようになります。 \begin{align*} X = \frac{x_{\frac{n}{2}}+x_{\frac{n}{2}+1}}{2} \end{align*}

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データ数 $n$ が奇数の時は、$R$ の整数部分 $r$ 、小数部分 $s$ は \begin{align*} r &=\frac{n+1}{2} \\ s &=0 \end{align*} となるので、中央値 $X$ は次のようになります。 \begin{align*} X = x_{\frac{n+1}{2}} \end{align*}

> quantile(x=c(3,5,8,10,12,12,15,17,19,20),probs=c(0,0.25,0.50,0.75,1),type=7)
   0%   25%   50%   75%  100%
 3.00  7.25 12.00 17.50 20.00

> quantile(x=c(3,5,8,10,12,12,15,17,19,20),probs=c(0,0.25,0.50,0.75,1),type=6)
  0%  25%  50%  75% 100%
 3.0  8.5 12.0 16.5 20.0

> data <- sort(c(3,5,8,10,12,12,15,17,19,20))
> p <- seq(from=0,to=1,by=0.0001)
> X <- quantile(x=data,probs=p,type=7)
> plot(x=X,y=p,pch=".",main="type=7")
> n <- length(data)
> pd <- (seq_along(data)-1)/(n-1)
> Xd <- quantile(x=data,probs=pd,type=7)
> points(x=Xd,y=pd,pch=16)
> abline(h=c(0,0.25,0.5,0.75,1),lty=2)

---

> data <- sort(c(3,5,8,10,12,12,15,17,19,20))
> p <- seq(from=0,to=1,by=0.0001)
> X <- quantile(x=data,probs=p,type=6)
> plot(x=X,y=p,pch=".",main="type=6")
> n <- length(data)
> pd <- seq_along(data)/(n+1)
> Xd <- quantile(x=data,probs=pd,type=6)
> points(x=Xd,y=pd,pch=16)
> abline(h=c(0,0.25,0.5,0.75,1),lty=2)

---

1. 大きさ順に並べ替えた $n$ 個のデータ $x_i,\, i=1,2,\ldots, n$ を用意する。 \begin{align*} x_1\le x_2\le \cdots \le x_n \end{align*}
2. 順位 $R$ を、相対順位 $p$ を使って次のように定義する。 \begin{align*} R=\frac{1}{2}+np \end{align*} $p$ の範囲は、$0\lt p\lt 1$ になります。 この範囲である相対順位範囲に $0$ と $1$ は含まれません。
3. $R$ の整数部分を $r$ 、小数部分を $s$ とする。
4. 相対順位 $p$ での分位数（パーセンタイル）$X$ は次のようになる。 \begin{align*} X=x_r+s\left(x_{r+1}-x_{r}\right) \end{align*}

$n=10$, $x_1=3$, $x_2=5$, $x_3=8$, $x_4=10$, $x_5=12$, $x_6=12$, $x_7=15$, $x_8=17$, $x_9=19$, $x_{10}=20$ です。

$p=0.25$ の時の $X$ を求めます。

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相対順位 25% の順位 $R$ を求めます。（下記図解：手順１、手順２） \begin{align*} R=\frac{1}{2}+10\times\frac{25}{100}=0.5+2.5=3 \end{align*}

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$R$ の整数部分 $r$ 、小数部分 $s$ は次のようになります。（下記図解：手順３） \begin{align*} r &=3 \\ s &=0.0 \end{align*}

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第3位と第4位のデータを $0.0$ で内分する点が25パーセンタイル $X$ になります。（下記図解：手順４） \begin{align*} X=x_3+0.0\left(x_4-x_3\right) = 8 + 0.0\left(10-8\right) = 8 + 0.0 = 8 \end{align*}

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以下、上記計算の図解になります。

$p=0.75$ の時の $X$ を求めます。

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相対順位 75% の順位 $R$ を求めます。（下記図解：手順１、手順２） \begin{align*} R=\frac{1}{2}+10\times\frac{75}{100}=0.5+7.5=8 \end{align*}

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$R$ の整数部分 $r$ 、小数部分 $s$ は次のようになります。（下記図解：手順３） \begin{align*} r &=8 \\ s &=0.0 \end{align*}

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第8位と第9位のデータを $0.0$ で内分する点が75パーセンタイル $X$ になります。（下記図解：手順４） \begin{align*} X=x_8+0.0\left(x_9-x_8\right) = 17 + 0.0\left(19-17\right) = 17 + 0.0 = 17 \end{align*}

---

以下、上記計算の図解になります。

> quantile(x=c(3,5,8,10,12,12,15,17,19,20),probs=c(0,0.25,0.50,0.75,1),type=5)
  0%  25%  50%  75% 100%
   3    8   12   17   20

> data <- sort(c(3,5,8,10,12,12,15,17,19,20))
> p <- seq(from=0,to=1,by=0.0001)
> X <- quantile(x=data,probs=p,type=5)
> plot(x=X,y=p,pch=".",main="type=5")
> n <- length(data)
> pd <- (seq_along(data)-1/2)/n
> Xd <- quantile(x=data,probs=pd,type=5)
> points(x=Xd,y=pd,pch=16)
> abline(h=c(0,0.25,0.5,0.75,1),lty=2)

---

1. 大きさ順に並べ替えた $n$ 個のデータ $x_i,\, i=1,2,\ldots, n$ を用意する。 \begin{align*} x_1\le x_2\le \cdots \le x_n \end{align*}
2. 順位 $R$ を、相対順位 $p$ を使って次のように定義する。 \begin{align*} R=\frac{1}{3}+\left(n+\frac{1}{3}\right)p \end{align*} $p$ の範囲は、$0\lt p\lt 1$ になります。 この範囲である相対順位範囲に $0$ と $1$ は含まれません。
3. $R$ の整数部分を $r$ 、小数部分を $s$ とする。
4. 相対順位 $p$ での分位数（パーセンタイル）$X$ は次のようになる。 \begin{align*} X=x_r+s\left(x_{r+1}-x_{r}\right) \end{align*}

$n=10$, $x_1=3$, $x_2=5$, $x_3=8$, $x_4=10$, $x_5=12$, $x_6=12$, $x_7=15$, $x_8=17$, $x_9=19$, $x_{10}=20$ です。

$p=0.25$ の時の $X$ を求めます。

---

相対順位 25% の順位 $R$ を求めます。（下記図解：手順１、手順２） \begin{align*} R=\frac{1}{3}+\left(10+\frac{1}{3}\right)\times\frac{25}{100}=\frac{1}{3}+\frac{31}{12}=\frac{35}{12}=2.91\dot{6} \end{align*}

---

$R$ の整数部分 $r$ 、小数部分 $s$ は次のようになります。（下記図解：手順３） \begin{align*} r &=2 \\ s &=\frac{35}{12}-2=\frac{11}{12} \end{align*}

---

第2位と第3位のデータを $s$ で内分する点が25パーセンタイル $X$ になります。（下記図解：手順４） \begin{align*} X=x_2+\frac{11}{12}\left(x_3-x_2\right) = 5 + \frac{11}{12}\left(8-5\right) = 5 + \frac{11}{4} = 7.75 \end{align*}

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以下、上記計算の図解になります。

$p=0.75$ の時の $X$ を求めます。

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相対順位 75% の順位 $R$ を求めます。（下記図解：手順１、手順２） \begin{align*} R=\frac{1}{3}+\left(10+\frac{1}{3}\right)\times\frac{75}{100}=\frac{1}{3}+\frac{31}{4}=\frac{97}{12}=8.08\dot{3} \end{align*}

---

$R$ の整数部分 $r$ 、小数部分 $s$ は次のようになります。（下記図解：手順３） \begin{align*} r &=8 \\ s &=\frac{97}{12}-8=\frac{1}{12} \end{align*}

---

第8位と第9位のデータを $s$ で内分する点が75パーセンタイル $X$ になります。（下記図解：手順４） \begin{align*} X=x_8+\frac{1}{12}\left(x_9-x_8\right) = 17 + \frac{1}{12}\left(19-17\right) = 17 + \frac{1}{6} = 17.1\dot{6} \end{align*}

---

以下、上記計算の図解になります。

> quantile(x=c(3,5,8,10,12,12,15,17,19,20),probs=c(0,0.25,0.50,0.75,1),type=8)
      0%      25%      50%      75%     100%
 3.00000  7.75000 12.00000 17.16667 20.00000

> data <- sort(c(3,5,8,10,12,12,15,17,19,20))
> p <- seq(from=0,to=1,by=0.0001)
> X <- quantile(x=data,probs=p,type=8)
> plot(x=X,y=p,pch=".",main="type=8")
> n <- length(data)
> pd <- (seq_along(data)-1/3)/(n+1/3)
> Xd <- quantile(x=data,probs=pd,type=8)
> points(x=Xd,y=pd,pch=16)
> abline(h=c(0,0.25,0.5,0.75,1),lty=2)

---

1. 大きさ順に並べ替えた $n$ 個のデータ $x_i,\, i=1,2,\ldots, n$ を用意する。 \begin{align*} x_1\le x_2\le \cdots \le x_n \end{align*}
2. 順位 $R$ を、相対順位 $p$ を使って次のように定義する。 \begin{align*} R=\frac{3}{8}+\left(n+\frac{1}{4}\right)p \end{align*} $p$ の範囲は、$0\lt p\lt 1$ になります。 この範囲である相対順位範囲に $0$ と $1$ は含まれません。
3. $R$ の整数部分を $r$ 、小数部分を $s$ とする。
4. 相対順位 $p$ での分位数（パーセンタイル）$X$ は次のようになる。 \begin{align*} X=x_r+s\left(x_{r+1}-x_{r}\right) \end{align*}

$n=10$, $x_1=3$, $x_2=5$, $x_3=8$, $x_4=10$, $x_5=12$, $x_6=12$, $x_7=15$, $x_8=17$, $x_9=19$, $x_{10}=20$ です。

$p=0.25$ の時の $X$ を求めます。

---

相対順位 25% の順位 $R$ を求めます。（下記図解：手順１、手順２） \begin{align*} R=\frac{3}{8}+\left(10+\frac{1}{4}\right)\times\frac{25}{100}=\frac{3}{8}+\frac{41}{16}=\frac{47}{16}=2.9375 \end{align*}

---

$R$ の整数部分 $r$ 、小数部分 $s$ は次のようになります。（下記図解：手順３） \begin{align*} r &=2 \\ s &=\frac{47}{16}-2=\frac{15}{16} \end{align*}

---

第2位と第3位のデータを $s$ で内分する点が25パーセンタイル $X$ になります。（下記図解：手順４） \begin{align*} X=x_2+\frac{11}{12}\left(x_3-x_2\right) = 5 + \frac{15}{16}\left(8-5\right) = 5 + \frac{45}{16} = 7.8125 \end{align*}

---

以下、上記計算の図解になります。

$p=0.75$ の時の $X$ を求めます。

---

相対順位 75% の順位 $R$ を求めます。（下記図解：手順１、手順２） \begin{align*} R=\frac{3}{8}+\left(10+\frac{1}{4}\right)\times\frac{75}{100}=\frac{3}{8}+\frac{123}{16}=\frac{129}{16}=8.0625 \end{align*}

---

$R$ の整数部分 $r$ 、小数部分 $s$ は次のようになります。（下記図解：手順３） \begin{align*} r &=8 \\ s &=\frac{129}{16}-8=\frac{1}{16} \end{align*}

---

第8位と第9位のデータを $s$ で内分する点が75パーセンタイル $X$ になります。（下記図解：手順４） \begin{align*} X=x_8+\frac{1}{12}\left(x_9-x_8\right) = 17 + \frac{1}{16}\left(19-17\right) = 17 + \frac{1}{8} = 17.125 \end{align*}

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以下、上記計算の図解になります。

> quantile(x=c(3,5,8,10,12,12,15,17,19,20),probs=c(0,0.25,0.50,0.75,1),type=9)
     0%     25%     50%     75%    100%
 3.0000  7.8125 12.0000 17.1250 20.0000

> data <- sort(c(3,5,8,10,12,12,15,17,19,20))
> p <- seq(from=0,to=1,by=0.0001)
> X <- quantile(x=data,probs=p,type=9)
> plot(x=X,y=p,pch=".",main="type=9")
> n <- length(data)
> pd <- (seq_along(data)-3/8)/(n+1/4)
> Xd <- quantile(x=data,probs=pd,type=9)
> points(x=Xd,y=pd,pch=16)
> abline(h=c(0,0.25,0.5,0.75,1),lty=2)

---

1. 大きさ順に並べ替えた $n$ 個のデータ $x_i,\, i=1,2,\ldots, n$ を用意する。 \begin{align*} x_1\le x_2\le \cdots \le x_n \end{align*}
2. 順位 $R$ を、相対順位 $p$ を使って次のように定義する。 \begin{align*} R=np \end{align*} $p$ の範囲は、$0\lt p\le 1$ になります。 この範囲である相対順位範囲に $0$ は含まれません。
3. $R$ の整数部分を $r$ 、小数部分を $s$ とする。
4. 相対順位 $p$ での分位数（パーセンタイル）$X$ は次のようになる。 \begin{align*} X=x_r+s\left(x_{r+1}-x_{r}\right) \end{align*}

$n=10$, $x_1=3$, $x_2=5$, $x_3=8$, $x_4=10$, $x_5=12$, $x_6=12$, $x_7=15$, $x_8=17$, $x_9=19$, $x_{10}=20$ です。

$p=0.25$ の時の $X$ を求めます。

---

相対順位 25% の順位 $R$ を求めます。（下記図解：手順１、手順２） \begin{align*} R=10\times 0.25=2.5 \end{align*}

---

$R$ の整数部分 $r$ 、小数部分 $s$ は次のようになります。（下記図解：手順３） \begin{align*} r &=2 \\ s &=0.5 \end{align*}

---

第2位と第3位のデータを $0.5$ で内分する点が25パーセンタイル $X$ になります。（下記図解：手順４） \begin{align*} X=x_2+0.5\left(x_3-x_2\right) = 5 + 0.5\left(8-5\right) = 5 + 1.5 = 7.5 \end{align*}

---

以下、上記計算の図解になります。

$p=0.75$ の時の $X$ を求めます。

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相対順位 75% の順位 $R$ を求めます。（下記図解：手順１、手順２） \begin{align*} R=10\times 0.75=7.5 \end{align*}

---

$R$ の整数部分 $r$ 、小数部分 $s$ は次のようになります。（下記図解：手順３） \begin{align*} r &=7 \\ s &=0.5 \end{align*}

---

第7位と第8位のデータを $0.5$ で内分する点が75パーセンタイル $X$ になります。（下記図解：手順４） \begin{align*} X=x_7+0.5\left(x_8-x_7\right) = 15 + 0.5\left(17-15\right) = 15 + 1 = 16 \end{align*}

---

以下、上記計算の図解になります。

> quantile(x=c(3,5,8,10,12,12,15,17,19,20),probs=c(0,0.25,0.50,0.75,1),type=4)
  0%  25%  50%  75% 100%
 3.0  6.5 12.0 16.0 20.0

> data <- sort(c(3,5,8,10,12,12,15,17,19,20))
> p <- seq(from=0,to=1,by=0.0001)
> X <- quantile(x=data,probs=p,type=4)
> plot(x=X,y=p,pch=".",main="type=4")
> n <- length(data)
> pd <- seq_along(data)/n
> Xd <- quantile(x=data,probs=pd,type=4)
> points(x=Xd,y=pd,pch=16)
> abline(h=c(0,0.25,0.5,0.75,1),lty=2)

---

相対順位 $p=\frac{1}{2}$ での順位 $R$ は次のようになる。 \begin{align*} R=\frac{n}{2} \end{align*}

---

データ数 $n$ が偶数の時は、$R$ の整数部分 $r$ 、小数部分 $s$ は \begin{align*} r &=\frac{n}{2} \\ s &=0.0 \end{align*} となるので、中央値 $X$ は次のようになります。 \begin{align*} X = x_{\frac{n}{2}} \end{align*}

---

データ数 $n$ が奇数の時は、$R$ の整数部分 $r$ 、小数部分 $s$ は \begin{align*} r &=\frac{n-1}{2} \\ s &=0.5 \end{align*} となるので、中央値 $X$ は次のようになります。 \begin{align*} X = \frac{x_{\frac{n-1}{2}}+x_{\frac{n+1}{2}}}{2} \end{align*}

1. 大きさ順に並べ替えた $n$ 個のデータ $x_i,\, i=1,2,\ldots, n$ を用意する。 \begin{align*} x_1\le x_2\le \cdots \le x_n \end{align*}
2. 順位 $R$ を、相対順位 $p$ を使って次のように定義する。 \begin{align*} R=np \end{align*} $p$ の範囲は、$0\lt p\le 1$ になります。 この範囲である相対順位範囲に $0$ は含まれません。
3. $R$ の小数部分を切り上げた値を $t$ とする。
4. 相対順位 $p$ での分位数（パーセンタイル）$X$ は次のようになる。 \begin{align*} X=x_t \end{align*}

$n=10$, $x_1=3$, $x_2=5$, $x_3=8$, $x_4=10$, $x_5=12$, $x_6=12$, $x_7=15$, $x_8=17$, $x_9=19$, $x_{10}=20$ です。

$p=0.25$ の時の $X$ を求めます。

---

相対順位 25% の順位 $R$ を求めます。（下記図解：手順１、手順２） \begin{align*} R=10\times 0.25=2.5 \end{align*}

---

$R$ の小数部分を切り上げた順位 $t$ は次のようになります。（下記図解：手順３） \begin{align*} t &=3 \end{align*}

---

第3位のデータが25パーセンタイル $X$ になります。（下記図解：手順４） \begin{align*} X=x_3 = 8 \end{align*}

---

以下、上記計算の図解になります。

$p=0.75$ の時の $X$ を求めます。

---

相対順位 75% の順位 $R$ を求めます。（下記図解：手順１、手順２） \begin{align*} R=10\times 0.75=7.5 \end{align*}

---

$R$ の小数部分切り上げた順位 $t$ は次のようになります。（下記図解：手順３） \begin{align*} t &=8 \end{align*}

---

第8位のデータが75パーセンタイル $X$ になります。（下記図解：手順４） \begin{align*} X=x_8 = 17 \end{align*}

---

以下、上記計算の図解になります。

> quantile(x=c(3,5,8,10,12,12,15,17,19,20),probs=c(0,0.25,0.50,0.75,1),type=1)
  0%  25%  50%  75% 100%
   3    8   12   17   20

> quantile(x=c(3,5,8,10,12,12,15,17,19,20),probs=c(0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9),type=1)
 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90%
  3   5   8  10  12  12  15  17  19

> data <- sort(c(3,5,8,10,12,12,15,17,19,20))
> p <- seq(from=0,to=1,by=0.0001)
> X <- quantile(x=data,probs=p,type=1)
> plot(x=X,y=p,pch=".",main="type=1")
> n <- length(data)
> pd <- seq_along(data)/n
> Xd <- quantile(x=data,probs=pd,type=1)
> points(x=Xd,y=pd,pch=16)
> abline(h=c(0,0.25,0.5,0.75,1),lty=2)

---

相対順位 $p=\frac{1}{2}$ での順位 $R$ は次のようになる。 \begin{align*} R=\frac{n}{2} \end{align*}

---

データ数 $n$ が偶数の時は、$R$ を切り上げた $t$ は \begin{align*} t &=\frac{n}{2} \end{align*} となるので、中央値 $X$ は次のようになります。 \begin{align*} X = x_{\frac{n}{2}} \end{align*}

---

データ数 $n$ が奇数の時は、$R$ を切り上げた $t$ は \begin{align*} t &=\frac{n+1}{2} \end{align*} となるので、中央値（50パーセンタイル）$X$ は次のようになります。 \begin{align*} X = x_{\frac{n+1}{2}} \end{align*}

1. 大きさ順に並べ替えた $n$ 個のデータ $x_i,\, i=1,2,\ldots, n$ を用意する。 \begin{align*} x_1\le x_2\le \cdots \le x_n \end{align*}
2. 順位 $R$ を、相対順位 $p$ を使って次のように定義する。 \begin{align*} R=np \end{align*} $p$ の範囲は、$0\lt p\le 1$ になります。 この範囲である相対順位範囲に $0$ は含まれません。
3. $R$ の小数部分を切り上げた値を $t$ とする。
4. 1. $R$ に小数部分があり、切り上げが起こった場合
      相対順位 $p$ での分位数（パーセンタイル）$X$ は次のようになる。 \begin{align*} X=x_t \end{align*}
   2. $R$ に小数部分がなく、切り上げが起こらなかった場合
      相対順位 $p$ での分位数（パーセンタイル）$X$ は次のようになる。 \begin{align*} X=\frac{x_R+x_{R+1}}{2} \end{align*}

$n=10$, $x_1=3$, $x_2=5$, $x_3=8$, $x_4=10$, $x_5=12$, $x_6=12$, $x_7=15$, $x_8=17$, $x_9=19$, $x_{10}=20$ です。

$p=0.2$ の時の $X$ を求めます。

---

相対順位 20% の順位 $R$ を求めます。（下記図解：手順１、手順２） \begin{align*} R=10\times 0.2=2 \end{align*}

---

$R$ に小数部分がないので、切り上げは起こりません。（下記図解：手順３） \begin{align*} R &=2 \end{align*}

---

第2位と第3位の中間データ（0.5内分点）が20パーセンタイル $X$ になります。（下記図解：手順４） \begin{align*} X=\frac{x_2+x_3}{2} = \frac{5+8}{2}=6.5 \end{align*}

---

以下、上記計算の図解になります。

> quantile(x=c(3,5,8,10,12,12,15,17,19,20),probs=c(0,0.25,0.50,0.75,1),type=2)
  0%  25%  50%  75% 100%
   3    8   12   17   20

> quantile(x=c(3,5,8,10,12,12,15,17,19,20),probs=c(0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9),type=2)
 10%  20%  30%  40%  50%  60%  70%  80%  90%
 4.0  6.5  9.0 11.0 12.0 13.5 16.0 18.0 19.5

> data <- sort(c(3,5,8,10,12,12,15,17,19,20))
> p <- seq(from=0,to=1,by=0.0001)
> X <- quantile(x=data,probs=p,type=2)
> plot(x=X,y=p,pch=".",main="type=2")
> n <- length(data)
> pd <- seq_along(data)/n
> Xd <- quantile(x=data,probs=pd,type=2)
> points(x=Xd,y=pd,pch=16)
> abline(h=c(0,0.25,0.5,0.75,1),lty=2)

---

相対順位 $p=\frac{1}{2}$ での順位 $R$ は次のようになる。 \begin{align*} R=\frac{n}{2} \end{align*}

---

データ数 $n$ が偶数の時は、$R$ に切り上げが起こらないので、中央値 $X$ は次のようになります。 \begin{align*} X = \frac{x_{\frac{n}{2}}+x_{\frac{n}{2}+1}}{2} \end{align*}

---

データ数 $n$ が奇数の時は、$R$ を切り上げた $t$ は \begin{align*} t &=\frac{n+1}{2} \end{align*} となるので、中央値（50パーセンタイル）$X$ は次のようになります。 \begin{align*} X = x_{\frac{n+1}{2}} \end{align*}

1. 大きさ順に並べ替えた $n$ 個のデータ $x_i,\, i=1,2,\ldots, n$ を用意する。 \begin{align*} x_1\le x_2\le \cdots \le x_n \end{align*}
2. 順位 $R$ を、相対順位 $p$ を使って次のように定義する。 \begin{align*} R=\frac{1}{2}+np \end{align*} $p$ の範囲は、$0\lt p\lt 1$ になります。 この範囲である相対順位範囲に $0$ は含まれません。
3. $R$ の整数部分を $r$ 、小数部分を $s$ とする。
4. 1. $s=0$ で、かつ、$r$ が $1$ じゃない奇数の場合
      相対順位 $p$ での分位数（パーセンタイル）$X$ は次のようになる。 \begin{align*} X=x_{r-1} \end{align*}
   2. それ以外の場合
      相対順位 $p$ での分位数（パーセンタイル）$X$ は次のようになる。 \begin{align*} X=x_r \end{align*}

$n=10$, $x_1=3$, $x_2=5$, $x_3=8$, $x_4=10$, $x_5=12$, $x_6=12$, $x_7=15$, $x_8=17$, $x_9=19$, $x_{10}=20$ です。

$p=0.25$ の時の $X$ を求めます。

---

相対順位 25% の順位 $R$ を求めます。 \begin{align*} R=\frac{1}{2}+10\times\frac{25}{100}=0.5+2.5=3 \end{align*}

---

$R$ の整数部分 $r$ 、小数部分 $s$ は次のようになります。 \begin{align*} r &=3 \\ s &=0.0 \end{align*}

---

$s=0$ で、かつ、$r$ が $1$ じゃない奇数なので、$r-1$ 位の点が25パーセンタイル $X$ になります。 \begin{align*} X=x_2 = 5 \end{align*}

$p=0.75$ の時の $X$ を求めます。

---

相対順位 75% の順位 $R$ を求めます。 \begin{align*} R=\frac{1}{2}+10\times\frac{75}{100}=0.5+7.5=8 \end{align*}

---

$R$ の整数部分 $r$ 、小数部分 $s$ は次のようになります。 \begin{align*} r &=8\\ s &=0.0 \end{align*}

---

$s=0$ ですが、$r$ が偶数なので、$r$ 位の点が75パーセンタイル $X$ になります。 \begin{align*} X=x_8 = 17 \end{align*}

> quantile(x=c(3,5,8,10,12,12,15,17,19,20),probs=c(0,0.25,0.50,0.75,1),type=3)
  0%  25%  50%  75% 100%
   3    5   12   17   20

> quantile(x=c(3,5,8,10,12,12,15,17,19,20),probs=c(0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9),type=3)
10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 
  3   5   8  10  12  12  15  17  19

> data <- sort(c(3,5,8,10,12,12,15,17,19,20))
> p <- seq(from=0,to=1,by=0.0001)
> X <- quantile(x=data,probs=p,type=3)
> plot(x=X,y=p,pch=".",main="type=3")
> n <- length(data)
> pd <- (seq_along(data)-1/2)/n
> Xd <- quantile(x=data,probs=pd,type=3)
> points(x=Xd,y=pd,pch=16)
> abline(h=c(0,0.25,0.5,0.75,1),lty=3)

---

>>> import numpy as np
>>> data = sorted([3,5,8,10,12,12,15,17,19,20])
>>> p = [x/10000*100 for x in range(0,10001)]
>>> X = np.percentile(a=data,q=p)
>>> n = len(data)
>>> pd = [(x-1)/(n-1)*100 for x in range(1,n+1)]
>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> ax = plt.figure().add_subplot(1,1,1)
>>> plt.plot(X,p,linewidth=1)
>>> ax.set_yticks([0,25,50,75,100])
>>> ax.grid(axis='y',color='black',lw=1,linestyle='dashed')
>>> plt.scatter(data,pd,color='black')
>>> plt.title('NumPy percentile')
>>> plt.xlabel('X')
>>> plt.ylabel('p')
>>> plt.show()

>>> import numpy as np
>>> data = sorted([3,5,8,10,12,12,15,17,19,20])
>>> p = [x/10000*100 for x in range(0,10001)]
>>> X1 = np.percentile(a=data,q=p,interpolation='linear')
>>> X2 = np.percentile(a=data,q=p,interpolation='higher')
>>> X3 = np.percentile(a=data,q=p,interpolation='lower')
>>> X4 = np.percentile(a=data,q=p,interpolation='nearest')
>>> X5 = np.percentile(a=data,q=p,interpolation='midpoint')
>>> n = len(data)
>>> pd = [(x-1)/(n-1)*100 for x in range(1,n+1)]
>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> ax = plt.figure().add_subplot(1,1,1)
>>> plt.plot(X1,p,linewidth=1,label='linear')
>>> plt.plot(X2,p,linewidth=1,label='higher',linestyle='--')
>>> plt.plot(X3,p,linewidth=1,label='lower',linestyle='--')
>>> plt.plot(X4,p,linewidth=1,label='nearest',linestyle='-.')
>>> plt.plot(X5,p,linewidth=1,label='midpoint',linestyle='-.')
>>> ax.set_yticks([0,25,50,75,100])
>>> ax.grid(axis='y',color='lightgray',lw=1)
>>> plt.scatter(data,pd,color='black')
>>> plt.title('NumPy percentile')
>>> plt.xlabel('X')
>>> plt.ylabel('p')
>>> plt.legend(loc='lower right',framealpha=1)
>>> plt.show()

1. 大きさ順に並べ替えた $n$ 個のデータ $x_i,\, i=1,2,\ldots, n$ を用意する。 \begin{align*} x_1\le x_2\le \cdots \le x_n \end{align*}
2. 順位 $R$ を、相対順位 $p$ を使って次のように定義する。 \begin{align*} R=\alpha + \left(n + 1 - \alpha - \beta\right)p \end{align*}
3. $R$ の整数部分を $r$ 、小数部分を $s$ とする。
4. 相対順位 $p$ での分位数（パーセンタイル）$X$ は次のようになる。 \begin{align*} X=x_r+s\left(x_{r+1}-x_{r}\right) \end{align*}

>>> from scipy.stats.mstats import mquantiles
>>> data = sorted([3,5,8,10,12,12,15,17,19,20])
>>> p = [x/10000 for x in range(0,10001)]
>>> X = mquantiles(a=data,prob=p,alphap=0,betap=1)
>>> n = len(data)
>>> pd = [x/n for x in range(1,n+1)]
>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> ax = plt.figure().add_subplot(1,1,1)
>>> plt.plot(X,p,linewidth=1)
>>> ax.set_yticks([0,0.25,0.5,0.75,1])
>>> ax.grid(axis='y',color='black',lw=1,linestyle='dashed')
>>> plt.scatter(data,pd,color='black')
>>> plt.title('SciPy mquantiles (0,1), R type=4')
>>> plt.xlabel('X')
>>> plt.ylabel('p')
>>> plt.show()

>>> from scipy.stats.mstats import mquantiles
>>> data = sorted([3,5,8,10,12,12,15,17,19,20])
>>> p = [x/10000 for x in range(0,10001)]
>>> X = mquantiles(a=data,prob=p,alphap=1/2,betap=1/2)
>>> n = len(data)
>>> pd = [(x-1/2)/n for x in range(1,n+1)]
>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> ax = plt.figure().add_subplot(1,1,1)
>>> plt.plot(X,p,linewidth=1)
>>> ax.set_yticks([0,0.25,0.5,0.75,1])
>>> ax.grid(axis='y',color='black',lw=1,linestyle='dashed')
>>> plt.scatter(data,pd,color='black')
>>> plt.title('SciPy mquantiles (1/2,1/2), R type=5')
>>> plt.xlabel('X')
>>> plt.ylabel('p')
>>> plt.show()

>>> from scipy.stats.mstats import mquantiles
>>> data = sorted([3,5,8,10,12,12,15,17,19,20])
>>> p = [x/10000 for x in range(0,10001)]
>>> X = mquantiles(a=data,prob=p,alphap=0,betap=0)
>>> n = len(data)
>>> pd = [x/(n+1) for x in range(1,n+1)]
>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> ax = plt.figure().add_subplot(1,1,1)
>>> plt.plot(X,p,linewidth=1)
>>> ax.set_yticks([0,0.25,0.5,0.75,1])
>>> ax.grid(axis='y',color='black',lw=1,linestyle='dashed')
>>> plt.scatter(data,pd,color='black')
>>> plt.title('SciPy mquantiles (0,0), R type=6')
>>> plt.xlabel('X')
>>> plt.ylabel('p')
>>> plt.show()

>>> from scipy.stats.mstats import mquantiles
>>> data = sorted([3,5,8,10,12,12,15,17,19,20])
>>> p = [x/10000 for x in range(0,10001)]
>>> X = mquantiles(a=data,prob=p,alphap=1,betap=1)
>>> n = len(data)
>>> pd = [(x-1)/(n-1) for x in range(1,n+1)]
>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> ax = plt.figure().add_subplot(1,1,1)
>>> plt.plot(X,p,linewidth=1)
>>> ax.set_yticks([0,0.25,0.5,0.75,1])
>>> ax.grid(axis='y',color='black',lw=1,linestyle='dashed')
>>> plt.scatter(data,pd,color='black')
>>> plt.title('SciPy mquantiles (1,1), R type=7')
>>> plt.xlabel('X')
>>> plt.ylabel('p')
>>> plt.show()

>>> from scipy.stats.mstats import mquantiles
>>> data = sorted([3,5,8,10,12,12,15,17,19,20])
>>> p = [x/10000 for x in range(0,10001)]
>>> X = mquantiles(a=data,prob=p,alphap=1/3,betap=1/3)
>>> n = len(data)
>>> pd = [(x-1/3)/(n+1/3) for x in range(1,n+1)]
>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> ax = plt.figure().add_subplot(1,1,1)
>>> plt.plot(X,p,linewidth=1)
>>> ax.set_yticks([0,0.25,0.5,0.75,1])
>>> ax.grid(axis='y',color='black',lw=1,linestyle='dashed')
>>> plt.scatter(data,pd,color='black')
>>> plt.title('SciPy mquantiles (1/3,1/3), R type=8')
>>> plt.xlabel('X')
>>> plt.ylabel('p')
>>> plt.show()

>>> from scipy.stats.mstats import mquantiles
>>> data = sorted([3,5,8,10,12,12,15,17,19,20])
>>> p = [x/10000 for x in range(0,10001)]
>>> X = mquantiles(a=data,prob=p,alphap=3/8,betap=3/8)
>>> n = len(data)
>>> pd = [(x-3/8)/(n+1/4) for x in range(1,n+1)]
>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> ax = plt.figure().add_subplot(1,1,1)
>>> plt.plot(X,p,linewidth=1)
>>> ax.set_yticks([0,0.25,0.5,0.75,1])
>>> ax.grid(axis='y',color='black',lw=1,linestyle='dashed')
>>> plt.scatter(data,pd,color='black')
>>> plt.title('SciPy mquantiles (3/8,3/8), R type=9')
>>> plt.xlabel('X')
>>> plt.ylabel('p')
>>> plt.show()

>>> from scipy.stats.mstats import mquantiles
>>> data = sorted([3,5,8,10,12,12,15,17,19,20])
>>> p = [x/10000 for x in range(0,10001)]
>>> X = mquantiles(a=data,prob=p)
>>> n = len(data)
>>> pd = [(x-2/5)/(n+1/5) for x in range(1,n+1)]
>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> ax = plt.figure().add_subplot(1,1,1)
>>> plt.plot(X,p,linewidth=1)
>>> ax.set_yticks([0,0.25,0.5,0.75,1])
>>> ax.grid(axis='y',color='black',lw=1,linestyle='dashed')
>>> plt.scatter(data,pd,color='black')
>>> plt.title('SciPy mquantiles (2/5,2/5), default')
>>> plt.xlabel('X')
>>> plt.ylabel('p')
>>> plt.show()