オイラーの等式 オイラーの公式 ビジュアル解説
オイラーの等式（Euler's identity）
\begin{align*}
e^{i\pi} = -1
\end{align*}
は世界で一番美しいと言われている等式です。
世界の三大数学者の一人である人物オイラーによって見出されました。
無理数のネイピア数 $e$ を、虚数単位 $i$ と 無理数の円周率 $\pi$ との積 $i\pi$乗すると、すっきりとした綺麗な整数 $-1$ になるという、とっても不思議な関係式です。
オイラーの等式を一般化したものがオイラーの公式（Euler's formula）です。
\begin{align*}
e^{i\theta} = \cos\theta + i \sin\theta
\end{align*}
左辺の指数関数に虚数が絡むと、右辺の三角関数と等しくなるという、こちらもとっても不思議な関係式です。
この公式で $\theta=\pi$ にすると $\cos\pi=-1,\,\sin\pi=0$ となり、オイラーの等式になります。
これらのとっても不思議な関係式、初めて見た時はなんだか騙されたような感じはしなかったでしょうか？
以下のプログラムを使ってグラフをビジュアル的に見ることで、少しは納得できて不思議な感じは減っていくのではないかと思います。
ネイピア数 $e$ の連続複利による定義から次の関係式が成り立ちます。
\begin{align*}
\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n = e
\end{align*}
連続複利の$n$分割する前の利率を $1(100\%)$ から $a$ に変更すると次のようになります。
\begin{align*}
\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{a}{n}\right)^n = e^a
\end{align*}
利率の部分を虚数 $i\theta$ に変えると次のようになります。
\begin{align*}
\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{i\theta}{n}\right)^n = e^{i\theta}
\end{align*}
自然数 $n$ が無限大になる極限で、左辺は $e^{i\theta}$ の値に収束する、という関係式です。
この式の収束していく様子を $n$ をどんどん大きくしていくプログラムを利用して観察していきましょう。
次のボタンで $n$ の値をどんどん大きくしてみましょう。
最初は[+1]ずつ変えていってみてください。
その時の設定で、左辺の値がどれくらいの値の複素数になるのか、が右辺の値です。
$\displaystyle\left(1+\frac{i\theta}{n}\right)^n=$ 0.00000 $\displaystyle +$ 0.00000 $\displaystyle i$
$\theta=$$\pi$
$n=$
グラフでの小さな●印が上記設定の有限の $n$ の時の値で、小さな○印が $n$ が無限大の極限を取った時の値です。
$n$ をどんどん大きくしていくことで、●の値が○に近づいていく（収束）していく様子が観察できます。
一通り観察したら、次に $\theta$ の値を $2\pi$ や $-1\pi$ や $0.5\pi$ 等、色々変えてやってみましょう。
指数関数のテーラー展開（マクローリン展開）による定義より、以下の関係が成り立ちます。
\begin{align*}
e^{i\theta} = \lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^n \frac{(i\theta)^k}{k!}
\end{align*}
この式の収束していく様子を $n$ をどんどん大きくしていくプログラムを利用して観察していきましょう。
次の $\theta$ や $n$ の設定値を変えてみましょう。
その時の設定で、左辺の値がどれくらいの値の複素数になるのか、が右辺の値です。
$\displaystyle\sum_{k=0}^n \frac{(i\theta)^k}{k!}=$ 0.00000 $\displaystyle +$ 0.00000 $\displaystyle i$
$\theta=$$\pi$
$n=$
グラフでの小さな●印が上記設定の有限の $n$ の時の値で、小さな○印が $n$ が無限大の極限を取った時の値です。
色付きの線は設定値の$n$の値まで、$n$を1ずつ大きくしていった時の●印の動きを表しています。
$n$ をどんどん大きくしていくことで、●の値が○に近づいていく（収束）していく様子が観察できます。
下のグラフでは実数部（Real part）の値が $\cos\theta$ に、虚数部（Imaginary part）の値が $\sin\theta$ に収束していく様子が観察できます。
ここでは以下の式が、自然数 $n$、実数 $\theta$ に対して成り立つことを証明します。
\begin{align*}
\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{i\theta}{n}\right)^n = \cos\theta + i\sin\theta
\end{align*}
左辺の $\lim$ 内の式の値が $n\to\infty$ の極限で、右辺の式の値に収束することを示します。
少し長くなりますが、収束の様子を観察した後で証明を行うと、何をやっているかの理解が深まるのではないかと思います。
上の式の左辺の $n$ 乗する前の、以下の左辺の式を、右辺のように変形します。
\begin{align*}
1+\frac{i\theta}{n} = \sqrt{1+\left(\frac{\theta}{n}\right)^2}\left\{\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle\sqrt{1+\left(\frac{\theta}{n}\right)^2}} + i\frac{\displaystyle\frac{\theta}{n}}{\displaystyle\sqrt{1+\left(\frac{\theta}{n}\right)^2}}\right\}
\end{align*}
右辺のルートの掛け算を$\{\}$括弧内の項に分配すれば左辺に戻るので、この変形は簡単だと思います。
右辺のルート内の各項は三角関数を利用して次のように書き換えることができます。
\begin{align*}
\cos\alpha = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle\sqrt{1+\left(\frac{\theta}{n}\right)^2}}\qquad
\sin\alpha = \frac{\displaystyle\frac{\theta}{n}}{\displaystyle\sqrt{1+\left(\frac{\theta}{n}\right)^2}}
\end{align*}
このような置き換えが可能な理由は、次のような三角関数に成り立つ関係式が全て矛盾なく成り立つからです。
\begin{align*}
\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1
\end{align*}
\begin{align*}
\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\theta}{n}
\end{align*}
ここで導入した $\alpha$ は以下の図の半径1の円の扇形の弧の長さ（赤色）で表現できます。
これは角度を弧度法で表現したものです。
下の図には、各線分の長さを、それぞれに対応する色の式で書き込んであります。
まとめると、次のように置き換えたことになります。
\begin{align*}
1+\frac{i\theta}{n} = \sqrt{1+\left(\frac{\theta}{n}\right)^2}\left(\cos\alpha + i\sin\alpha\right)
\end{align*}
両辺を $n$ 乗します。
\begin{align*}
\left\{1+\frac{i\theta}{n}\right\}^n &= \left\{\sqrt{1+\left(\frac{\theta}{n}\right)^2}\left(\cos\alpha + i\sin\alpha\right)\right\}^n \\
&= \left\{\sqrt{1+\left(\frac{\theta}{n}\right)^2}\right\}^n\left(\cos\alpha + i\sin\alpha\right)^n \\
&= \left\{1+\left(\frac{\theta}{n}\right)^2\right\}^\frac{n}{2}\left(\cos n\alpha + i\sin n\alpha\right) \\
\end{align*}
この最後の等式で、ルートが1/2乗であることと、以下のド・モアブルの定理を用いました。
\begin{align*}
\left(\cos\alpha + i\sin\alpha\right)^n = \cos n\alpha + i\sin n\alpha
\end{align*}
ド・モアブルの定理は三角関数の加法定理と数学的帰納法を用いて証明することができます。
$n=1$ の時にド・モアブルの定理が成り立つのは明らかです。
$n=k$ の時にド・モアブルの定理が成り立つと仮定すると、次のように $n=k+1$ の時に成り立つことが確かめられます。
\begin{align*}
\left(\cos\alpha + i\sin\alpha\right)^{k+1} &= \left(\cos \alpha + i\sin \alpha\right)^k\left(\cos \alpha + i\sin\alpha\right) \\
&= \left(\cos k\alpha + i\sin k\alpha\right)\left(\cos \alpha + i\sin\alpha\right) \\
&= \cos k\alpha\cos\alpha + i\cos k\alpha\sin\alpha + i\sin k\alpha + i^2\sin k\alpha\sin\alpha \\
&= \cos k\alpha\cos\alpha + i\cos k\alpha\sin\alpha + i\sin k\alpha - \sin k\alpha\sin\alpha \\
&= \left(\cos k\alpha\cos\alpha - \sin k\alpha\sin\alpha\right) + i\left(\cos k\alpha\sin\alpha + i\sin k\alpha\right) \\
&= \cos\left(k\alpha + \alpha\right) + i\sin\left(k\alpha + \alpha\right) \\
&= \cos\left\{\left(k + 1\right)\alpha\right\} + i\sin\left\{\left(k + 1\right)\alpha\right\} \\
\end{align*}
この上から2番目の等式で、$n=k$ の時のド・モアブルの定理を用いました。
また、下から2番目の等式で、三角関数の加法定理を使いました。
ここまでをまとめると、次のようになります。
\begin{align*}
\left\{1+\frac{i\theta}{n}\right\}^n = \left\{1+\left(\frac{\theta}{n}\right)^2\right\}^\frac{n}{2}\left(\cos n\alpha + i\sin n\alpha\right)
\end{align*}
$\alpha$ は上の図で表される半径1の円の弧の長さ（弧度法での角度）。
右辺の $n\to\infty$ の極限を求めるために、個々の部分の極限を調べます。
$n\alpha$ の極限を求めるために $\alpha$ の範囲を調べます。上に描かれた図を利用すると、次の関係式を得ます。
\begin{align*}
\sin\alpha &\lt \alpha \lt \tan\alpha \\ \\
\frac{\displaystyle\frac{\theta}{n}}{\displaystyle\sqrt{1+\left(\frac{\theta}{n}\right)^2}} &\lt \alpha \lt \frac{\theta}{n} \\
\end{align*}
各辺々を$n$倍すると、次の式を得ます。
\begin{align*}
\frac{\theta}{\displaystyle\sqrt{1+\left(\frac{\theta}{n}\right)^2}} \lt n\alpha \lt \theta
\end{align*}
$n\to\infty$ の極限で次の関係式が成り立ちます。
\begin{align*}
\lim_{n\to\infty}\frac{\theta}{\displaystyle\sqrt{1+\left(\frac{\theta}{n}\right)^2}} = \lim_{t\to 0}\frac{\theta}{\sqrt{1+t}} = \theta
\end{align*}
ここで、$\left(\frac{\theta}{n}\right)^2 = t$ と置きました。
\begin{align*}
\lim_{n\to\infty}\theta = \theta
\end{align*}
挟み撃ちの原理より、次の関係式が得られます。
\begin{align*}
\lim_{n\to\infty}n\alpha = \theta
\end{align*}
$n\to\infty$ の極限を取る前の残りの部分を次のように変形します。
\begin{align*}
\left\{1+\left(\frac{\theta}{n}\right)^2\right\}^\frac{n}{2}
&= \left\{1+\left(\frac{\theta}{n}\right)^2\right\}^{\frac{n}{2}\left(\frac{n}{\theta}\right)^2\left(\frac{\theta}{n}\right)^2} \\
&= \left[\left\{1+\left(\frac{\theta}{n}\right)^2\right\}^{\left(\frac{n}{\theta}\right)^2}\right]^\frac{\theta^2}{2n} \\
\end{align*}
$[\cdot ]$の内側部分は、$n\to\infty$ の極限で以下のように収束します。
\begin{align*}
\lim_{n\to\infty}\left\{1+\left(\frac{\theta}{n}\right)^2\right\}^{\left(\frac{n}{\theta}\right)^2} = \lim_{t\to 0}\left\{1 + t\right\}^{\frac{1}{t}} = e
\end{align*}
ここで、$\left(\frac{\theta}{n}\right)^2 = t$ と置きました。
$[\cdot ]$の外側の指数の部分は $n\to\infty$ の極限で以下のように収束します。
\begin{align*}
\lim_{n\to\infty}\frac{\theta^2}{2n} = 0
\end{align*}
これらを組み合わせると$n\to\infty$ の極限で次のように収束することが導かれます。
\begin{align*}
\lim_{n\to\infty}\left\{1+\left(\frac{\theta}{n}\right)^2\right\}^\frac{n}{2}
&= \lim_{n\to\infty}\left[\left\{1+\left(\frac{\theta}{n}\right)^2\right\}^{\left(\frac{n}{\theta}\right)^2}\right]^\frac{\theta^2}{2n} \\ \\
&= \left[e\right]^0 \\
&= 1
\end{align*}
まとめると、以下のように収束することが示せました。
\begin{align*}
\lim_{n\to\infty} n\alpha = \theta
\end{align*}
\begin{align*}
\lim_{n\to\infty}\left\{1+\left(\frac{\theta}{n}\right)^2\right\}^\frac{n}{2} = 1
\end{align*}
これらを組み合わせることで、オイラーの公式が導かれます。
\begin{align*}
\lim_{n\to\infty}\left\{1+\frac{i\theta}{n}\right\}^n &= \lim_{n\to\infty}\left\{1+\left(\frac{\theta}{n}\right)^2\right\}^\frac{n}{2}\left(\cos n\alpha + i\sin n\alpha\right) \\ \\
&= 1\cdot\left(\cos\theta + i\sin\theta\right) \\
&= \cos\theta + i\sin\theta
\end{align*}
指数関数のテーラー展開（マクローリン展開）は次のようになります。
\begin{align*}
e^x = 1 + x + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3!}x^3 + \frac{1}{4!}x^4 + \frac{1}{5!}x^5 + \frac{1}{6!}x^6 + \frac{1}{7!}x^7 + \frac{1}{8!}x^8 + \frac{1}{9!}x^9 + \frac{1}{10!}x^{10} + \frac{1}{11!}x^{11} + \frac{1}{12!}x^{12} + \cdots
\end{align*}
$x$ の部分を虚数 $i\theta$ にしたものと、三角関数のテーラー展開とを比較してみましょう。
\begin{alignat*}{15}
e^{i\theta} &= 1 &+ i\theta &- \frac{1}{2}\theta^2 &- i\frac{1}{3!}\theta^3 &+ \frac{1}{4!}\theta^4 &+ i\frac{1}{5!}\theta^5 &- \frac{1}{6!}\theta^6 &- i\frac{1}{7!}\theta^7 &+ \frac{1}{8!}\theta^8 &+ i\frac{1}{9!}\theta^9 &- \frac{1}{10!}\theta^{10} &- i\frac{1}{11!}\theta^{11} &+ \frac{1}{12!}\theta^{12} &+ \cdots \\ \\
\cos\theta &= 1 & &- \frac{1}{2}\theta^2 & &+ \frac{1}{4!}\theta^4 & &- \frac{1}{6!}\theta^6 & &+ \frac{1}{8!}\theta^8 & &- \frac{1}{10!}\theta^{10} & &+ \frac{1}{12!}\theta^{12} &+ \cdots \\ \\
\sin\theta &= &\phantom{+i} \theta & &- \phantom{i}\frac{1}{3!}\theta^3 & &+ \phantom{i}\frac{1}{5!}\theta^5 & &- \phantom{i}\frac{1}{7!}\theta^7 & &+ \phantom{i}\frac{1}{9!}\theta^9 & &- \phantom{i}\frac{1}{11!}\theta^{11} & &+ \cdots \\ \\
\end{alignat*}
展開した式で、同じ階数の $\theta^k$ の項を比較すると、オイラーの公式が成り立つことが分かります。
また $\pm$ の符号の順番を見ると、上のプログラムで観察したように $n$ を大きくしていくと、偶数番目の $n$ で左右に動き、奇数番目の $n$ で上下に動くことが分かります。
そして、有限の $\theta$ の値ならどんなに大きな値でも、$n\to\infty$ で $\theta^n$ よりも、$n!$ の方が大きくなって、値が収束していくことが分かります。
指数関数や三角関数は微分すると次のようになる性質があります。
\begin{align*}
\left(e^x\right)' &= e^x \\
\left(e^{i\theta}\right)' &= ie^{i\theta} \\
\left(\sin\theta\right)' &= \cos\theta \\
\left(\cos\theta\right)' &= -\sin\theta
\end{align*}
テーラー展開によって関数を多項式を用いて表現できます。
多項式による表現でも、無限に続く項を扱うことによって上の微分の性質を成り立たせることができる、ということが分かります。
実数の指数関数は微分しても変わらないという性質があるのですが、虚数の指数関数には次のように4回微分したら元の関数に戻るという性質があります。
\begin{alignat*}{4}
e^{i\theta} &\;\xrightarrow{\textsf{微分}}\;& ie^{i\theta} &\;\xrightarrow{\textsf{微分}}\;& -e^{i\theta} &\;\xrightarrow{\textsf{微分}}\;& -ie^{i\theta} &\;\xrightarrow{\textsf{微分}}\;& e^{i\theta}
\end{alignat*}
この性質は虚数単位 $i$ を4回掛けたら元に戻るという性質と同じものです。
\begin{alignat*}{4}
1 &\;\xrightarrow{\;\times i\;}\;& i &\;\xrightarrow{\;\times i\;}\;& -1 &\;\xrightarrow{\;\times i\;}\;& -i &\;\xrightarrow{\;\times i\;}\;& 1
\end{alignat*}
三角関数にも4回微分したら元の関数に戻るという性質があります。
\begin{alignat*}{4}
\sin\theta &\;\xrightarrow{\textsf{微分}}\;& \cos\theta &\;\xrightarrow{\textsf{微分}}\;& -\sin\theta &\;\xrightarrow{\textsf{微分}}\;& -\cos\theta &\;\xrightarrow{\textsf{微分}}\;& \sin\theta \\
\cos\theta &\;\xrightarrow{\textsf{微分}}\;& -\sin\theta &\;\xrightarrow{\textsf{微分}}\;& -\cos\theta &\;\xrightarrow{\textsf{微分}}\;& \sin\theta &\;\xrightarrow{\textsf{微分}}\;& \cos\theta \\
\end{alignat*}
オイラーの公式の両辺で4回微分したら元の関数に戻るという性質をみると次のようになります。
\begin{align*}
e^{i\theta} &= \cos\theta + i\sin\theta \\
&\downarrow \textsf{両辺微分} \\
ie^{i\theta} &= -\sin\theta + i\cos\theta &&= i\left(\cos\theta + i\sin\theta\right) \\
&\downarrow \textsf{両辺微分} \\
-e^{i\theta} &= -\cos\theta - i\sin\theta &&= -\left(\cos\theta + i\sin\theta\right) \\
&\downarrow \textsf{両辺微分} \\
-ie^{i\theta} &= \sin\theta - i\cos\theta &&= -i\left(\cos\theta + i\sin\theta\right) \\
&\downarrow \textsf{両辺微分} \\
e^{i\theta} &= \cos\theta + i\sin\theta
\end{align*}
このことからも、虚数の指数関数と三角関数が同じ性質を持っていることが理解できます。